Theorem sgmval2 25105

Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmval2	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑝,𝐴   𝐵,𝑘,𝑝

Proof of Theorem sgmval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11667	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		sgmval 25104	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))
3	1, 2	sylan 571	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴))
4		ssrab2 3895	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ ℕ
5		simpr 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵})
6	4, 5	sseldi 3807	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℕ)
7	6	nncnd 11332	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ∈ ℂ)
8	6	nnne0d 11362	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → 𝑘 ≠ 0)
9		simpll 774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	7, 8, 9	cxpexpzd 24693	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝑐𝐴) = (𝑘↑𝐴))
11	10	sumeq2dv 14675	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
12	3, 11	eqtrd 2851	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637   ∈ wcel 2157  {crab 3111   class class class wbr 4855  (class class class)co 6883  ℂcc 10228  ℕcn 11314  ℤcz 11662  ↑cexp 13102  Σcsu 14658   ∥ cdvds 15222  ↑_𝑐ccxp 24538   σ csgm 25058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-inf2 8794  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307  ax-pre-sup 10308  ax-addf 10309  ax-mulf 10310

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-isom 6119  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-of 7136  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-supp 7539  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-2o 7806  df-oadd 7809  df-er 7988  df-map 8103  df-pm 8104  df-ixp 8155  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-fsupp 8524  df-fi 8565  df-sup 8596  df-inf 8597  df-oi 8663  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10979  df-nn 11315  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11579  df-z 11663  df-dec 11779  df-uz 11924  df-q 12027  df-rp 12066  df-xneg 12181  df-xadd 12182  df-xmul 12183  df-ioo 12416  df-ioc 12417  df-ico 12418  df-icc 12419  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-fl 12836  df-mod 12912  df-seq 13044  df-exp 13103  df-fac 13300  df-bc 13329  df-hash 13357  df-shft 14049  df-cj 14081  df-re 14082  df-im 14083  df-sqrt 14217  df-abs 14218  df-limsup 14444  df-clim 14461  df-rlim 14462  df-sum 14659  df-ef 15037  df-sin 15039  df-cos 15040  df-pi 15042  df-struct 16089  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-ress 16095  df-plusg 16185  df-mulr 16186  df-starv 16187  df-sca 16188  df-vsca 16189  df-ip 16190  df-tset 16191  df-ple 16192  df-ds 16194  df-unif 16195  df-hom 16196  df-cco 16197  df-rest 16307  df-topn 16308  df-0g 16326  df-gsum 16327  df-topgen 16328  df-pt 16329  df-prds 16332  df-xrs 16386  df-qtop 16391  df-imas 16392  df-xps 16394  df-mre 16470  df-mrc 16471  df-acs 16473  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-submnd 17560  df-mulg 17765  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19965  df-xmet 19966  df-met 19967  df-bl 19968  df-mopn 19969  df-fbas 19970  df-fg 19971  df-cnfld 19974  df-top 20932  df-topon 20949  df-topsp 20971  df-bases 20984  df-cld 21057  df-ntr 21058  df-cls 21059  df-nei 21136  df-lp 21174  df-perf 21175  df-cn 21265  df-cnp 21266  df-haus 21353  df-tx 21599  df-hmeo 21792  df-fil 21883  df-fm 21975  df-flim 21976  df-flf 21977  df-xms 22358  df-ms 22359  df-tms 22360  df-cncf 22914  df-limc 23866  df-dv 23867  df-log 24539  df-cxp 24540  df-sgm 25064

This theorem is referenced by:  0sgm  25106  sgmnncl  25109