MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmppw 25700
Description: The value of the divisor function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sgmppw ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝑃,𝑘

Proof of Theorem sgmppw
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3 prmnn 16006 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℕ)
5 simp3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64, 5nnexpcld 13594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
7 sgmval 25646 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝑁) ∈ ℕ) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
81, 6, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴))
9 oveq1 7152 . . 3 (𝑛 = (𝑃𝑘) → (𝑛𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
10 fzfid 13329 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...𝑁) ∈ Fin)
11 eqid 2818 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))
1211dvdsppwf1o 25690 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
132, 5, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖)):(0...𝑁)–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)})
14 oveq2 7153 . . . . 5 (𝑖 = 𝑘 → (𝑃𝑖) = (𝑃𝑘))
15 ovex 7178 . . . . 5 (𝑃𝑘) ∈ V
1614, 11, 15fvmpt 6761 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
1716adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝑃𝑖))‘𝑘) = (𝑃𝑘))
18 elrabi 3672 . . . . 5 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℕ)
1918nncnd 11642 . . . 4 (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} → 𝑛 ∈ ℂ)
20 cxpcl 25184 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
2119, 1, 20syl2anr 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)}) → (𝑛𝑐𝐴) ∈ ℂ)
229, 10, 13, 17, 21fsumf1o 15068 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑃𝑁)} (𝑛𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
23 elfznn0 12988 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2423adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11945 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
261adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2725, 26mulcomd 10650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘 · 𝐴) = (𝐴 · 𝑘))
2827oveq2d 7161 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)))
294adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nnrpd 12417 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3124nn0red 11944 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
3230, 31, 26cxpmuld 25246 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴))
3329nncnd 11642 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑃 ∈ ℂ)
34 cxpexp 25178 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3533, 24, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐𝑘) = (𝑃𝑘))
3635oveq1d 7160 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑐𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3732, 36eqtrd 2853 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝑘 · 𝐴)) = ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴))
3833, 26, 24cxpmul2d 25219 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑃𝑐(𝐴 · 𝑘)) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
3928, 37, 383eqtr3d 2861 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = ((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
4039sumeq2dv 15048 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑘)↑𝑐𝐴) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
418, 22, 403eqtrd 2857 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 σ (𝑃𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑃𝑐𝐴)↑𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139   class class class wbr 5057  cmpt 5137  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  cexp 13417  Σcsu 15030  cdvds 15595  cprime 16003  𝑐ccxp 25066   σ csgm 25600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-sgm 25606
This theorem is referenced by:  1sgmprm  25702  1sgm2ppw  25703
  Copyright terms: Public domain W3C validator