MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mucl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mucl 25710
Description: Closure of the Möbius function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
mucl (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)

Proof of Theorem mucl
StepHypRef Expression
1 muf 25709 . 2 μ:ℕ⟶ℤ
21ffvelrni 6843 1 (𝐴 ∈ ℕ → (μ‘𝐴) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6348  cn 11630  cz 11973  μcmu 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-dvds 15600  df-prm 16008  df-mu 25670
This theorem is referenced by:  mumul  25750  musum  25760  musumsum  25761  muinv  25762  dchrmusum2  26062  dchrvmasumlem1  26063  dchrvmasum2lem  26064  dchrvmasum2if  26065  dchrvmasumlem3  26067  dchrvmasumiflem2  26070  dchrmusumlem  26090  mudivsum  26098  mulogsumlem  26099  mulogsum  26100  mulog2sumlem2  26103  mulog2sumlem3  26104  selberglem1  26113  selberglem2  26114  selberglem3  26115  selberg  26116
  Copyright terms: Public domain W3C validator