MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ssfzoulel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssfzoulel 13728
Description: If a half-open integer range is a subset of a half-open range of nonnegative integers, but its lower bound is greater than or equal to the upper bound of the containing range, or its upper bound is less than or equal to 0, then its upper bound is less than or equal to its lower bound (and therefore it is actually empty). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssfzoulel ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem ssfzoulel
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 zre 12564 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
4 zre 12564 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
5 ltnle 11295 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
763adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
87biimpar 478 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
9 ssfzo12 13727 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
101, 2, 8, 9syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → (0 ≤ 𝐴𝐵𝑁)))
114adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14 letr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵𝐴))
1615expcomd 417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴)))
1716imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐵 ≤ 0 → 𝐵𝐴))
1817con3d 152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
1918ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
20193adant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2120com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0)))
2221imp 407 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (0 ≤ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≤ 0))
23 nn0re 12483 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
244, 23, 33anim123i 1151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
25243coml 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
26 letr 11310 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝑁𝑁𝐴) → 𝐵𝐴))
2827expdimp 453 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (𝑁𝐴𝐵𝐴))
2928con3d 152 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐵𝑁) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ 𝑁𝐴))
3029impancom 452 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝐵𝑁 → ¬ 𝑁𝐴))
3122, 30anim12d 609 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴)))
32 ioran 982 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝑁𝐴 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0))
3332biancomi 463 . . . . . . 7 (¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (¬ 𝐵 ≤ 0 ∧ ¬ 𝑁𝐴))
3431, 33imbitrrdi 251 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((0 ≤ 𝐴𝐵𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3510, 34syld 47 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → ¬ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)))
3635con2d 134 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3736impancom 452 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁)))
3837con4d 115 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴))
3938ex 413 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^𝑁) → 𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wcel 2106  wss 3948   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  cr 11111  0cc0 11112   < clt 11250  cle 11251  0cn0 12474  cz 12560  ..^cfzo 13629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630
This theorem is referenced by:  swrdnd2  14607
  Copyright terms: Public domain W3C validator