Theorem ssfzo12bi 13800

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
3	2	3adant2 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4		ssfzo12 13798	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
6		elfzo2 13702	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7		eluz2 12884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥))
8		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		letr 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
20	13, 16, 18, 19	syl2an23an 1425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
21	20	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22	9, 10, 21	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
23	22	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
24	23	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
25	24	expdimp 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
26	25	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
28	27	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
29	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
31	30	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
34	33	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
35		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
36	34, 35	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
41	40	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
46		ltletr 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
47	39, 41, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
48	47	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
50	49	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
51	50	expcomd 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
52	51	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
53	52	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
54	53	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
57	56	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
58		elfzo2 13702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
59	36, 38, 57, 58	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
60	59	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
61	60	3adant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
62	7, 61	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63	62	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
64	63	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
65	6, 64	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66	65	com12 32	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
67	66	ssrdv 3989	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
68	67	ex 412	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
69	5, 68	impbid 212	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  swrdnd  14692  repswswrd  14822  iccpartgt  47414