Theorem ssfzo12bi 13795

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
3	2	3adant2 1149	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4		ssfzo12 13793	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
6		elfzo2 13695	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7		eluz2 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥))
8		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		zre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		zre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		letr 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
20	13, 16, 18, 19	syl2an23an 1450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
21	20	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22	9, 10, 21	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
23	22	exp31 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
24	23	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
25	24	expdimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
26	25	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
27	26	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
28	27	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
29	28	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
31	30	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
32	31	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
34	33	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
35		eluz2 12872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
36	34, 35	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37		simpl2r 1246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	17	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		zre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
41	40	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42		zre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
46		ltletr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
47	39, 41, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
48	47	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
49	48	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
50	49	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
51	50	expcomd 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
52	51	adantld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
53	52	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
54	53	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
55	54	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
56	55	imp 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
57	56	imp 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
58		elfzo2 13695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
59	36, 38, 57, 58	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
60	59	exp31 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
61	60	3adant1 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
62	7, 61	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63	62	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
64	63	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
65	6, 64	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66	65	com12 33	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
67	66	ssrdv 3943	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
68	67	ex 417	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
69	5, 68	impbid 215	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103   < clt 11247   ≤ cle 11248  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ..^cfzo 13687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688

This theorem is used by:  swrdnd  14697  repswswrd  14826  iccpartgt  48204