Theorem ssfzo12bi 13692

Description: Subset relationship for half-open integer ranges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssfzo12bi	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Proof of Theorem ssfzo12bi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿))
2	1	biimpri 227	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
3	2	3adant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿))
4		ssfzo12 13690	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))
6		elfzo2 13600	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿))
7		eluz2 12793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥))
8		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑥 ∈ ℝ)
19		letr 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
20	13, 16, 18, 19	syl2an23an 1423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → 𝑀 ≤ 𝑥))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
22	9, 10, 21	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
23	22	exp31 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
24	23	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
25	24	expdimp 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝐾) → (𝐾 ≤ 𝑥 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
26	25	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
27	26	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝑀 ≤ 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
29	28	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ≤ 𝐾 → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))))
31	30	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)))
34	33	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
35		eluz2 12793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
36	34, 35	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
37		simpl2r 1227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
39	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
41	40	ad3antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42		zre 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
46		ltletr 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
47	39, 41, 45, 46	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁))
48	47	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 𝑥 < 𝑁)))
49	48	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
50	49	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑥 < 𝐿 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
51	50	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → (𝐿 ≤ 𝑁 → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
52	51	adantld 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁))))
53	52	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 < 𝐿 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 < 𝑁)))
54	53	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁)))
56	55	imp 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 < 𝑁))
57	56	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 < 𝑁)
58		elfzo2 13600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑁))
59	36, 38, 57, 58	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 < 𝐿) ∧ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁))) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))
60	59	exp31 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
61	60	3adant1 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≤ 𝑥) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
62	7, 61	sylbi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑥 < 𝐿 → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁))))
63	62	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
64	63	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
65	6, 64	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
66	65	com12 32	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐾..^𝐿) → 𝑥 ∈ (𝑀..^𝑁)))
67	66	ssrdv 3968	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) ∧ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁))
68	67	ex 413	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁)))
69	5, 68	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 < 𝐿) → ((𝐾..^𝐿) ⊆ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐿 ≤ 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3928   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℝcr 11074   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℤcz 12523  ℤ_≥cuz 12787  ..^cfzo 13592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593

This theorem is referenced by:  swrdnd  14569  repswswrd  14699  iccpartgt  45772