Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfac1 32714
Description: The subfactorial at one. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
Assertion
Ref Expression
subfac1 (𝑆‘1) = 0
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfac1
StepHypRef Expression
1 1nn0 11995 . . 3 1 ∈ ℕ0
2 derang.d . . . 4 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
3 subfac.n . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
42, 3subfacval 32709 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (𝑆‘1) = (𝐷‘(1...1)))
51, 4ax-mp 5 . 2 (𝑆‘1) = (𝐷‘(1...1))
6 1z 12096 . . . 4 1 ∈ ℤ
7 fzsn 13043 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
86, 7ax-mp 5 . . 3 (1...1) = {1}
98fveq2i 6680 . 2 (𝐷‘(1...1)) = (𝐷‘{1})
102derangsn 32706 . . 3 (1 ∈ ℕ0 → (𝐷‘{1}) = 0)
111, 10ax-mp 5 . 2 (𝐷‘{1}) = 0
125, 9, 113eqtri 2766 1 (𝑆‘1) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {cab 2717  wne 2935  wral 3054  {csn 4517  cmpt 5111  1-1-ontowf1o 6339  cfv 6340  (class class class)co 7173  Fincfn 8558  0cc0 10618  1c1 10619  0cn0 11979  cz 12065  ...cfz 12984  chash 13785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-hash 13786
This theorem is referenced by:  subfacval2  32723  subfacval3  32725
  Copyright terms: Public domain W3C validator