Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangsn 34689
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangsn (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 9046 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
2 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
32derangval 34686 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
41, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
5 f1of 6827 . . . . . . . . . 10 (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7 snidg 4657 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
8 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
96, 7, 8syl2anr 596 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)
11 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝐴))
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 2996 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓𝐴) ≠ 𝐴))
1413rspcva 3604 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
157, 10, 14syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
16 nelsn 4663 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
189, 17pm2.21dd 194 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
1918ex 412 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
2019abssdv 4060 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21 ss0 4393 . . . . 5 ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2322fveq2d 6889 . . 3 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
244, 23eqtrid 2778 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25 hash0 14332 . 2 (♯‘∅) = 0
2624, 25eqtrdi 2782 1 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  wne 2934  wral 3055  wss 3943  c0 4317  {csn 4623  cmpt 5224  wf 6533  1-1-ontowf1o 6536  cfv 6537  Fincfn 8941  0cc0 11112  chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  subfac1  34697
  Copyright terms: Public domain W3C validator