Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangsn 32527
 Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangsn (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 8577 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
2 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
32derangval 32524 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
41, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
5 f1of 6590 . . . . . . . . . 10 (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
65adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7 snidg 4559 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
8 ffvelrn 6826 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
96, 7, 8syl2anr 599 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
10 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)
11 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝐴))
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 3048 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓𝐴) ≠ 𝐴))
1413rspcva 3569 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
157, 10, 14syl2an 598 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
16 nelsn 4565 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
189, 17pm2.21dd 198 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
1918ex 416 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
2019abssdv 3996 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21 ss0 4306 . . . . 5 ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2322fveq2d 6649 . . 3 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
244, 23syl5eq 2845 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25 hash0 13724 . 2 (♯‘∅) = 0
2624, 25eqtrdi 2849 1 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  0cc0 10526  ♯chash 13686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687 This theorem is referenced by:  subfac1  32535
 Copyright terms: Public domain W3C validator