Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  derangsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem derangsn 35175
Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
Assertion
Ref Expression
derangsn (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn
StepHypRef Expression
1 snfi 9083 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
2 derang.d . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
32derangval 35172 . . . 4 ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
41, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)})
5 f1of 6848 . . . . . . . . . 10 (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7 snidg 4660 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴})
8 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
96, 7, 8syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
10 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)
11 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑓𝑦) = (𝑓𝐴))
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐴)
1311, 12neeq12d 3002 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓𝐴) ≠ 𝐴))
1413rspcva 3620 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
157, 10, 14syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓𝐴) ≠ 𝐴)
16 nelsn 4666 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓𝐴) ∈ {𝐴})
189, 17pm2.21dd 195 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
1918ex 412 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
2019abssdv 4068 . . . . 5 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21 ss0 4402 . . . . 5 ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
2322fveq2d 6910 . . 3 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
244, 23eqtrid 2789 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25 hash0 14406 . 2 (♯‘∅) = 0
2624, 25eqtrdi 2793 1 (𝐴𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cmpt 5225  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Fincfn 8985  0cc0 11155  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  subfac1  35183
  Copyright terms: Public domain W3C validator