Theorem derangsn 35935

Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑓)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem derangsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9071	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
2		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 35932	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		f1of 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
6	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7		snidg 4621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
8		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
9	6, 7, 8	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
10		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)
11		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐴))
12		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴))
14	13	rspcva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
15	7, 10, 14	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
16		nelsn 4627	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
17	15, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
18	9, 17	pm2.21dd 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
19	18	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
20	19	abssdv 4015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21		ss0 4352	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
22	20, 21	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
23	22	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
24	4, 23	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25		hash0 14511	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  Fincfn 8973  0cc0 11200  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475

This theorem is used by:  subfac1  35943