Theorem derangsn 32799

Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8699	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
2		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 32796	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		f1of 6639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
6	5	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7		snidg 4561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
8		ffvelrn 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
9	6, 7, 8	syl2anr 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
10		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)
11		fveq2 6695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐴))
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 2993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴))
14	13	rspcva 3525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
15	7, 10, 14	syl2an 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
16		nelsn 4567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
18	9, 17	pm2.21dd 198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
19	18	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
20	19	abssdv 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21		ss0 4299	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
23	22	fveq2d 6699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
24	4, 23	syl5eq 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25		hash0 13899	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223  {csn 4527   ↦ cmpt 5120  ⟶wf 6354  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  Fincfn 8604  0cc0 10694  ♯chash 13861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-hash 13862

This theorem is referenced by:  subfac1  32807