Theorem derangsn 35386

Description: The derangement number of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))

Assertion

Ref	Expression
derangsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝐴   𝑓,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem derangsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8992	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
2		derang.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangval 35383	. . . 4 ⊢ ({𝐴} ∈ Fin → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)})
5		f1of 6782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
6	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓:{𝐴}⟶{𝐴})
7		snidg 4619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
8		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:{𝐴}⟶{𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
9	6, 7, 8	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
10		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)
11		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘𝐴))
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → 𝑦 = 𝐴)
13	11, 12	neeq12d 2994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴))
14	13	rspcva 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ {𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
15	7, 10, 14	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → (𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴)
16		nelsn 4625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ≠ 𝐴 → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → ¬ (𝑓‘𝐴) ∈ {𝐴})
18	9, 17	pm2.21dd 195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)) → 𝑓 ∈ ∅)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦) → 𝑓 ∈ ∅))
20	19	abssdv 4021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅)
21		ss0 4356	. . . . 5 ⊢ ({𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} ⊆ ∅ → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)} = ∅)
23	22	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:{𝐴}–1-1-onto→{𝐴} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}) = (♯‘∅))
24	4, 23	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = (♯‘∅))
25		hash0 14302	. 2 ⊢ (♯‘∅) = 0
26	24, 25	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐷‘{𝐴}) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  0cc0 11038  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  subfac1  35394