Theorem subfacf 35489

Description: The subfactorial is a function from nonnegative integers to nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
subfacf	⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem subfacf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 13982	. . . 4 ⊢ (1...𝑛) ∈ Fin
2		derang.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3	2	derangf 35482	. . . . 5 ⊢ 𝐷:Fin⟶ℕ0
4	3	ffvelcdmi 7060	. . . 4 ⊢ ((1...𝑛) ∈ Fin → (𝐷‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐷‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0
6	5	rgenw 3079	. 2 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐷‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0
7		subfac.n	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
8	7	fmpt 7087	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝐷‘(1...𝑛)) ∈ ℕ0 ↔ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0)
9	6, 8	mpbi 232	1 ⊢ 𝑆:ℕ0⟶ℕ0

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6513  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  1c1 11071  ℕ₀cn0 12478  ...cfz 13509  ♯chash 14340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-hash 14341

This theorem is referenced by:  subfacp1lem6  35499  subfaclim  35502  subfacval3  35503