Theorem derangen2 35666

Description: Write the derangement number in terms of the subfactorial. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
derang.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
derangen2	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) = (𝑆‘(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝐷,𝑛   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem derangen2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 14388	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2		derang.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) ≠ 𝑦)}))
3		subfac.n	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
4	2, 3	subfacval 35665	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (𝑆‘(♯‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))))
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑆‘(♯‘𝐴)) = (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))))
6		hashfz1 14378	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴))
8		fzfid 14005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin)
9		hashen 14379	. . . . 5 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
10	8, 9	mpancom 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘(1...(♯‘𝐴))) = (♯‘𝐴) ↔ (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴))
11	7, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴)
12	2	derangen 35664	. . 3 ⊢ (((1...(♯‘𝐴)) ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))) = (𝐷‘𝐴))
13	11, 12	mpancom 700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘(1...(♯‘𝐴))) = (𝐷‘𝐴))
14	5, 13	eqtr2d 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐷‘𝐴) = (𝑆‘(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ≈ cen 8936  Fincfn 8939  1c1 11096  ℕ₀cn0 12499  ...cfz 13530  ♯chash 14362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-hash 14363

This theorem is referenced by:  subfacp1lem3  35674  subfacp1lem5  35676  derangfmla  35682