Theorem submateqlem2 33807

Description: Lemma for submateq 33808. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13595	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2		submateqlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5		submateqlem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾))
7	2	elfzelzd 13565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12648	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		submateqlem2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
10	9	elfzelzd 13565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzo 13701	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝐾))
14	2	orcd 874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15		submateqlem2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnuz 12921	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
18		fzm1 13647	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
20	14, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
21	3	nnred 12281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21, 5	ltned 11397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐾)
23		nelsn 4666	. . . 4 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
25	20, 24	eldifd 3962	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
26	13, 25	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  submateq  33808