Theorem submateqlem2 31660

Description: Lemma for submateq 31661. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13216	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2		submateqlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	sselid 3915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 11951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5		submateqlem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾))
7	2	elfzelzd 13186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		submateqlem2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
10	9	elfzelzd 13186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzo 13318	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
13	6, 12	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝐾))
14	2	orcd 869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15		submateqlem2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnuz 12550	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
18		fzm1 13265	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
20	14, 19	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
21	3	nnred 11918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21, 5	ltned 11041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐾)
23		nelsn 4598	. . . 4 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
25	20, 24	eldifd 3894	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
26	13, 25	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312

This theorem is referenced by:  submateq  31661