Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem2 32446
Description: Lemma for submateq 32447. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1 (𝜑𝑀 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
submateqlem2 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 13478 . . . . . 6 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2 submateqlem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
31, 2sselid 3943 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnge1d 12206 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5 submateqlem2.1 . . . 4 (𝜑𝑀 < 𝐾)
64, 5jca 513 . . 3 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾))
72elfzelzd 13448 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 12539 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 submateqlem2.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
109elfzelzd 13448 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzo 13580 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
127, 8, 10, 11syl3anc 1372 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
136, 12mpbird 257 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (1..^𝐾))
142orcd 872 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15 submateqlem2.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
16 nnuz 12811 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eleqtrdi 2844 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
18 fzm1 13527 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
2014, 19mpbird 257 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
213nnred 12173 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2221, 5ltned 11296 . . . 4 (𝜑𝑀𝐾)
23 nelsn 4627 . . . 4 (𝑀𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2520, 24eldifd 3922 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
2613, 25jca 513 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  submateq  32447
  Copyright terms: Public domain W3C validator