Theorem submateqlem2 34198

Description: Lemma for submateq 34199. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13579	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2		submateqlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	sselid 3935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5		submateqlem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)
6	4, 5	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾))
7	2	elfzelzd 13548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		submateqlem2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
10	9	elfzelzd 13548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzo 13685	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
13	6, 12	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝐾))
14	2	orcd 886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15		submateqlem2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnuz 12896	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2873	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
18		fzm1 13631	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
20	14, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
21	3	nnred 12243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21, 5	ltned 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐾)
23		nelsn 4632	. . . 4 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
25	20, 24	eldifd 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
26	13, 25	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11096   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857  ...cfz 13530  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  submateq  34199