Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem2 33462
Description: Lemma for submateq 33463. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1 (𝜑𝑀 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
submateqlem2 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 13559 . . . . . 6 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2 submateqlem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
31, 2sselid 3971 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnge1d 12285 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5 submateqlem2.1 . . . 4 (𝜑𝑀 < 𝐾)
64, 5jca 510 . . 3 (𝜑 → (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾))
72elfzelzd 13529 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 1zzd 12618 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9 submateqlem2.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
109elfzelzd 13529 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
11 elfzo 13661 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
127, 8, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐾)))
136, 12mpbird 256 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (1..^𝐾))
142orcd 871 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15 submateqlem2.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
16 nnuz 12890 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
1715, 16eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
18 fzm1 13608 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
2014, 19mpbird 256 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (1...𝑁))
213nnred 12252 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2221, 5ltned 11375 . . . 4 (𝜑𝑀𝐾)
23 nelsn 4665 . . . 4 (𝑀𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2422, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
2520, 24eldifd 3952 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
2613, 25jca 510 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  cdif 3938  {csn 4625   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  cn 12237  cz 12583  cuz 12847  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655
This theorem is referenced by:  submateq  33463
  Copyright terms: Public domain W3C validator