Theorem submateqlem2 33754

Description: Lemma for submateq 33755. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13615	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2		submateqlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	sselid 4006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5		submateqlem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾))
7	2	elfzelzd 13585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		submateqlem2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
10	9	elfzelzd 13585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzo 13718	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
13	6, 12	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝐾))
14	2	orcd 872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15		submateqlem2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnuz 12946	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
18		fzm1 13664	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
20	14, 19	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
21	3	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21, 5	ltned 11426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐾)
23		nelsn 4688	. . . 4 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
25	20, 24	eldifd 3987	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
26	13, 25	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1c1 11185   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  submateq  33755