Theorem submateqlem2 34238

Description: Lemma for submateq 34239. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem2.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem2	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13596	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
2		submateqlem2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
3	1, 2	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnge1d 12295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑀)
5		submateqlem2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝐾)
6	4, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾))
7	2	elfzelzd 13565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		1zzd 12636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
9		submateqlem2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
10	9	elfzelzd 13565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
11		elfzo 13702	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (1 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐾)))
13	6, 12	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1..^𝐾))
14	2	orcd 887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
15		submateqlem2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
16		nnuz 12913	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17	15, 16	eleqtrdi 2875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
18		fzm1 13648	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
19	17, 18	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
20	14, 19	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...𝑁))
21	3	nnred 12259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22	21, 5	ltned 11357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝐾)
23		nelsn 4634	. . . 4 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑀 ∈ {𝐾})
25	20, 24	eldifd 3917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
26	13, 25	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ∧ 𝑀 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  1c1 11112   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℕcn 12244  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ...cfz 13547  ..^cfzo 13695

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696

This theorem is used by:  submateq  34239