Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 33461
Description: Lemma for submateq 33463. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 13559 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
2 submateqlem1.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
31, 2sselid 3971 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 12610 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 submateqlem1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnzd 12610 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 fz1ssnn 13559 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8 submateqlem1.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
97, 8sselid 3971 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12610 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 submateqlem1.1 . . 3 (𝜑𝐾𝑀)
129nnred 12252 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
135nnred 12252 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
14 1red 11240 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11667 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16 elfzle2 13532 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
178, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
1813lem1d 12172 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
1912, 15, 13, 17, 18letrd 11396 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
204, 6, 10, 11, 19elfzd 13519 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21 1zzd 12618 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2210peano2zd 12694 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
239nnnn0d 12557 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 12560 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25 1re 11239 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
26 addge02 11750 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2725, 12, 26sylancr 585 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2824, 27mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
295nnnn0d 12557 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
30 nn0ltlem1 12647 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3123, 29, 30syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3217, 31mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
33 nnltp1le 12643 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
349, 5, 33syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3532, 34mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3621, 6, 22, 28, 35elfzd 13519 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
373nnred 12252 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
38 nnleltp1 12642 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
393, 9, 38syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4011, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4137, 40ltned 11375 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4241necomd 2986 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43 nelsn 4665 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
4442, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
4536, 44eldifd 3952 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
4620, 45jca 510 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wne 2930  cdif 3938  {csn 4625   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  cn 12237  0cn0 12497  ...cfz 13511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512
This theorem is referenced by:  submateq  33463
  Copyright terms: Public domain W3C validator