Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 30971
Description: Lemma for submateq 30973. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 submateqlem1.1 . . . 4 (𝜑𝐾𝑀)
2 fz1ssnn 12926 . . . . . . 7 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3 submateqlem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
42, 3sseldi 3962 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 11641 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6 submateqlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11641 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 1red 10630 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 11056 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10 elfzle2 12899 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
127lem1d 11561 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
135, 9, 7, 11, 12letrd 10785 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
141, 13jca 512 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑀𝑀𝑁))
154nnzd 12074 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
16 fz1ssnn 12926 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
17 submateqlem1.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
1816, 17sseldi 3962 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1918nnzd 12074 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
206nnzd 12074 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 elfz 12886 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2314, 22mpbird 258 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
244nnnn0d 11943 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 11946 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26 1re 10629 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
27 addge02 11139 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2826, 5, 27sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2925, 28mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
306nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31 nn0ltlem1 12030 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3224, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3311, 32mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
34 nnltp1le 12026 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
354, 6, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3633, 35mpbid 233 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3729, 36jca 512 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3815peano2zd 12078 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39 1zzd 12001 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40 elfz 12886 . . . . 5 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4138, 39, 20, 40syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4237, 41mpbird 258 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
4318nnred 11641 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
44 nnleltp1 12025 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4518, 4, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
461, 45mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4743, 46ltned 10764 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4847necomd 3068 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49 nelsn 4595 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5142, 50eldifd 3944 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
5223, 51jca 512 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  submateq  30973
  Copyright terms: Public domain W3C validator