Theorem submateqlem1 33843

Description: Lemma for submateq 33845. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13577	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		submateqlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3	1, 2	sselid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12620	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		submateqlem1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12620	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fz1ssnn 13577	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8		submateqlem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9	7, 8	sselid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12620	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		submateqlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
12	9	nnred 12260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5	nnred 12260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		1red 11241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11670	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16		elfzle2 13550	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
18	13	lem1d 12180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
19	12, 15, 13, 17, 18	letrd 11397	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 6, 10, 11, 19	elfzd 13537	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21		1zzd 12628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	10	peano2zd 12705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23	9	nnnn0d 12567	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25		1re 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		addge02 11753	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
27	25, 12, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	24, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
29	5	nnnn0d 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		nn0ltlem1 12658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	17, 31	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
33		nnltp1le 12654	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
34	9, 5, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	32, 34	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	21, 6, 22, 28, 35	elfzd 13537	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
37	3	nnred 12260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
38		nnleltp1 12653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
39	3, 9, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
40	11, 39	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
41	37, 40	ltned 11376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
42	41	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43		nelsn 4647	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
45	36, 44	eldifd 3942	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
46	20, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  submateq  33845