Theorem submateqlem1 30747

Description: Lemma for submateq 30749. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateqlem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
2		fz1ssnn 12753	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3		submateqlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	sseldi 3851	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		submateqlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnred 11455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		1red 10439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 10868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		elfzle2 12726	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
12	7	lem1d 11373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
13	5, 9, 7, 11, 12	letrd 10596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
14	1, 13	jca 504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	4	nnzd 11898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		fz1ssnn 12753	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
17		submateqlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
18	16, 17	sseldi 3851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 11898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	nnzd 11898	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		elfz 12713	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1352	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	14, 22	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
24	4	nnnn0d 11766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 11769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26		1re 10438	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		addge02 10951	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	26, 5, 27	sylancr 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
29	25, 28	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
30	6	nnnn0d 11766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
31		nn0ltlem1 11854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	24, 30, 31	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
33	11, 32	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
34		nnltp1le 11850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	4, 6, 34	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
36	33, 35	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	29, 36	jca 504	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
38	15	peano2zd 11902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39		1zzd 11825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		elfz 12713	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
41	38, 39, 20, 40	syl3anc 1352	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
42	37, 41	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
43	18	nnred 11455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
44		nnleltp1 11849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
45	18, 4, 44	syl2anc 576	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
46	1, 45	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
47	43, 46	ltned 10575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
48	47	necomd 3017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49		nelsn 4474	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
51	42, 50	eldifd 3835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
52	23, 51	jca 504	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2962   ∖ cdif 3821  {csn 4436   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ℝcr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473   ≤ cle 10474   − cmin 10669  ℕcn 11438  ℕ₀cn0 11706  ℤcz 11792  ...cfz 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708

This theorem is referenced by:  submateq  30749