Theorem submateqlem1 34550

Description: Lemma for submateq 34552. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13729	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		submateqlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3	1, 2	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		submateqlem1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fz1ssnn 13729	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8		submateqlem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9	7, 8	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12759	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		submateqlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
12	9	nnred 12390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5	nnred 12390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		1red 11348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16		elfzle2 13701	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
17	8, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
18	13	lem1d 12290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
19	12, 15, 13, 17, 18	letrd 11506	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 6, 10, 11, 19	elfzd 13687	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21		1zzd 12767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	10	peano2zd 12846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23	9	nnnn0d 12707	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25		1re 11347	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		addge02 11867	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
27	25, 12, 26	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	24, 27	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
29	5	nnnn0d 12707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		nn0ltlem1 12799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	17, 31	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
33		nnltp1le 12795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
34	9, 5, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	32, 34	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	21, 6, 22, 28, 35	elfzd 13687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
37	3	nnred 12390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
38		nnleltp1 12794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
39	3, 9, 38	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
40	11, 39	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
41	37, 40	ltned 11485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
42	41	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43		nelsn 4628	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
44	42, 43	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
45	36, 44	eldifd 4053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
46	20, 45	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680

This theorem is used by:  submateq  34552