Theorem submateqlem1 33768

Description: Lemma for submateq 33770. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13592	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		submateqlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3	1, 2	sselid 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		submateqlem1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fz1ssnn 13592	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8		submateqlem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9	7, 8	sselid 3993	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12638	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		submateqlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
12	9	nnred 12279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5	nnred 12279	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		1red 11260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16		elfzle2 13565	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
18	13	lem1d 12199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
19	12, 15, 13, 17, 18	letrd 11416	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 6, 10, 11, 19	elfzd 13552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21		1zzd 12646	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	10	peano2zd 12723	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23	9	nnnn0d 12585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25		1re 11259	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		addge02 11772	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
27	25, 12, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	24, 27	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
29	5	nnnn0d 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		nn0ltlem1 12676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	17, 31	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
33		nnltp1le 12672	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
34	9, 5, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	32, 34	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	21, 6, 22, 28, 35	elfzd 13552	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
37	3	nnred 12279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
38		nnleltp1 12671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
39	3, 9, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
40	11, 39	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
41	37, 40	ltned 11395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
42	41	necomd 2994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43		nelsn 4671	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
45	36, 44	eldifd 3974	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
46	20, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  submateq  33770