Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 32775
Description: Lemma for submateq 32777. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 fz1ssnn 13528 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
2 submateqlem1.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
31, 2sselid 3979 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 12581 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
5 submateqlem1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnzd 12581 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7 fz1ssnn 13528 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8 submateqlem1.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
97, 8sselid 3979 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 12581 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 submateqlem1.1 . . 3 (𝜑𝐾𝑀)
129nnred 12223 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
135nnred 12223 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
14 1red 11211 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 11638 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16 elfzle2 13501 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
178, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
1813lem1d 12143 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
1912, 15, 13, 17, 18letrd 11367 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
204, 6, 10, 11, 19elfzd 13488 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21 1zzd 12589 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2210peano2zd 12665 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
239nnnn0d 12528 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 12531 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25 1re 11210 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
26 addge02 11721 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2725, 12, 26sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2824, 27mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
295nnnn0d 12528 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
30 nn0ltlem1 12618 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3123, 29, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3217, 31mpbird 256 . . . . 5 (𝜑𝑀 < 𝑁)
33 nnltp1le 12614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
349, 5, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3532, 34mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3621, 6, 22, 28, 35elfzd 13488 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
373nnred 12223 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
38 nnleltp1 12613 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
393, 9, 38syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4011, 39mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4137, 40ltned 11346 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4241necomd 2996 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43 nelsn 4667 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
4442, 43syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
4536, 44eldifd 3958 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
4620, 45jca 512 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wne 2940  cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  cn 12208  0cn0 12468  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  submateq  32777
  Copyright terms: Public domain W3C validator