Theorem submateqlem1 31757

Description: Lemma for submateq 31759. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13287	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		submateqlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3	1, 2	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		submateqlem1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fz1ssnn 13287	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8		submateqlem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9	7, 8	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12425	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		submateqlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
12	9	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5	nnred 11988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		1red 10976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16		elfzle2 13260	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
18	13	lem1d 11908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
19	12, 15, 13, 17, 18	letrd 11132	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 6, 10, 11, 19	elfzd 13247	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21		1zzd 12351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	10	peano2zd 12429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23	9	nnnn0d 12293	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25		1re 10975	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		addge02 11486	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
27	25, 12, 26	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	24, 27	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
29	5	nnnn0d 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		nn0ltlem1 12380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	17, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
33		nnltp1le 12376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
34	9, 5, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	32, 34	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	21, 6, 22, 28, 35	elfzd 13247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
37	3	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
38		nnleltp1 12375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
39	3, 9, 38	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
40	11, 39	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
41	37, 40	ltned 11111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
42	41	necomd 2999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43		nelsn 4601	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
45	36, 44	eldifd 3898	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
46	20, 45	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  {csn 4561   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  submateq  31759