Theorem submateqlem1 31659

Description: Lemma for submateq 31661. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1ssnn 13216	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
2		submateqlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
3	1, 2	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12354	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
5		submateqlem1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 12354	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		fz1ssnn 13216	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
8		submateqlem1.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
9	7, 8	sselid 3915	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12354	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
11		submateqlem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
12	9	nnred 11918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5	nnred 11918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
14		1red 10907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	13, 14	resubcld 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
16		elfzle2 13189	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
17	8, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
18	13	lem1d 11838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
19	12, 15, 13, 17, 18	letrd 11062	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
20	4, 6, 10, 11, 19	elfzd 13176	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
21		1zzd 12281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
22	10	peano2zd 12358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23	9	nnnn0d 12223	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
24	23	nn0ge0d 12226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
25		1re 10906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		addge02 11416	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
27	25, 12, 26	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	24, 27	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
29	5	nnnn0d 12223	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
30		nn0ltlem1 12310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
31	23, 29, 30	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	17, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
33		nnltp1le 12306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
34	9, 5, 33	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	32, 34	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
36	21, 6, 22, 28, 35	elfzd 13176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
37	3	nnred 11918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
38		nnleltp1 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
39	3, 9, 38	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
40	11, 39	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
41	37, 40	ltned 11041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
42	41	necomd 2998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
43		nelsn 4598	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
45	36, 44	eldifd 3894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
46	20, 45	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3880  {csn 4558   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  submateq  31661