Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 31164
Description: Lemma for submateq 31166. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 submateqlem1.1 . . . 4 (𝜑𝐾𝑀)
2 fz1ssnn 12937 . . . . . . 7 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3 submateqlem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
42, 3sseldi 3916 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 11644 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6 submateqlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11644 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 1red 10635 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 11061 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10 elfzle2 12910 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
127lem1d 11566 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
135, 9, 7, 11, 12letrd 10790 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
141, 13jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑀𝑀𝑁))
154nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
16 fz1ssnn 12937 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
17 submateqlem1.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
1816, 17sseldi 3916 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1918nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
206nnzd 12078 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 elfz 12895 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2314, 22mpbird 260 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
244nnnn0d 11947 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 11950 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26 1re 10634 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
27 addge02 11144 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2826, 5, 27sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2925, 28mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
306nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31 nn0ltlem1 12034 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3224, 30, 31syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3311, 32mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
34 nnltp1le 12030 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
354, 6, 34syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3633, 35mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3729, 36jca 515 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3815peano2zd 12082 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39 1zzd 12005 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40 elfz 12895 . . . . 5 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4138, 39, 20, 40syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4237, 41mpbird 260 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
4318nnred 11644 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
44 nnleltp1 12029 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4518, 4, 44syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
461, 45mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4743, 46ltned 10769 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4847necomd 3045 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49 nelsn 4568 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5142, 50eldifd 3895 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
5223, 51jca 515 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  {csn 4528   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890
This theorem is referenced by:  submateq  31166
  Copyright terms: Public domain W3C validator