Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submateqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submateqlem1 30747
Description: Lemma for submateq 30749. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submateqlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1 (𝜑𝐾𝑀)
Assertion
Ref Expression
submateqlem1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1
StepHypRef Expression
1 submateqlem1.1 . . . 4 (𝜑𝐾𝑀)
2 fz1ssnn 12753 . . . . . . 7 (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3 submateqlem1.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
42, 3sseldi 3851 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
54nnred 11455 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6 submateqlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76nnred 11455 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
8 1red 10439 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 10868 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10 elfzle2 12726 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
113, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
127lem1d 11373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
135, 9, 7, 11, 12letrd 10596 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
141, 13jca 504 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑀𝑀𝑁))
154nnzd 11898 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
16 fz1ssnn 12753 . . . . . 6 (1...𝑁) ⊆ ℕ
17 submateqlem1.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
1816, 17sseldi 3851 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
1918nnzd 11898 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
206nnzd 11898 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21 elfz 12713 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2215, 19, 20, 21syl3anc 1352 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾𝑀𝑀𝑁)))
2314, 22mpbird 249 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
244nnnn0d 11766 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2524nn0ge0d 11769 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26 1re 10438 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
27 addge02 10951 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2826, 5, 27sylancr 579 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
2925, 28mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
306nnnn0d 11766 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31 nn0ltlem1 11854 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3224, 30, 31syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
3311, 32mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝑀 < 𝑁)
34 nnltp1le 11850 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
354, 6, 34syl2anc 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3633, 35mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
3729, 36jca 504 . . . 4 (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
3815peano2zd 11902 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39 1zzd 11825 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40 elfz 12713 . . . . 5 (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4138, 39, 20, 40syl3anc 1352 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
4237, 41mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
4318nnred 11455 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
44 nnleltp1 11849 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
4518, 4, 44syl2anc 576 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝑀𝐾 < (𝑀 + 1)))
461, 45mpbid 224 . . . . . 6 (𝜑𝐾 < (𝑀 + 1))
4743, 46ltned 10575 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
4847necomd 3017 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49 nelsn 4474 . . . 4 ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
5142, 50eldifd 3835 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
5223, 51jca 504 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wcel 2051  wne 2962  cdif 3821  {csn 4436   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  cr 10333  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   < clt 10473  cle 10474  cmin 10669  cn 11438  0cn0 11706  cz 11792  ...cfz 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708
This theorem is referenced by:  submateq  30749
  Copyright terms: Public domain W3C validator