Theorem subrngpropd 20736

Description: If two structures have the same ring components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrngpropd	⊢ (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrngpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrngpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrngpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrngpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	rngpropd 20315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Rng ↔ 𝐿 ∈ Rng))
6	1	ineq2d 4169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3458	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4169	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3458	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3458	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	rngpropd 20315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng))
42	1, 2	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
43	42	sseq2d 3966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
44	5, 41, 43	3anbi123d 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿))))
45	8	issubrng 20715	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
46	14	issubrng 20715	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
47	44, 45, 46	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿)))
48	47	eqrdv 2760	1 ⊢ (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Rngcrng 20293  SubRngcsubrng 20713

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-subrng 20714

This theorem is used by: (None)