MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrngpropd 20487
Description: If two structures have the same ring components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
subrngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
subrngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
subrngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
subrngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
subrngpropd (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrngpropd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 subrngpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 subrngpropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 subrngpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4rngpropd 20098 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Rng ↔ 𝐿 ∈ Rng))
61ineq2d 4208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝐾s 𝑠) = (𝐾s 𝑠)
8 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
97, 8ressbas 17200 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝑠)))
109elv 3475 . . . . . 6 (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝑠))
116, 10eqtrdi 2783 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (Base‘(𝐾s 𝑠)))
122ineq2d 4208 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13 eqid 2727 . . . . . . . 8 (𝐿s 𝑠) = (𝐿s 𝑠)
14 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1513, 14ressbas 17200 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿s 𝑠)))
1615elv 3475 . . . . . 6 (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿s 𝑠))
1712, 16eqtrdi 2783 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (Base‘(𝐿s 𝑠)))
18 elinel2 4192 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) → 𝑥𝐵)
19 elinel2 4192 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑠𝐵) → 𝑦𝐵)
2018, 19anim12i 612 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
21 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (+g𝐾) = (+g𝐾)
227, 21ressplusg 17256 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (+g𝐾) = (+g‘(𝐾s 𝑠)))
2322elv 3475 . . . . . . . 8 (+g𝐾) = (+g‘(𝐾s 𝑠))
2423oveqi 7427 . . . . . . 7 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦)
25 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (+g𝐿) = (+g𝐿)
2613, 25ressplusg 17256 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (+g𝐿) = (+g‘(𝐿s 𝑠)))
2726elv 3475 . . . . . . . 8 (+g𝐿) = (+g‘(𝐿s 𝑠))
2827oveqi 7427 . . . . . . 7 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦)
293, 24, 283eqtr3g 2790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
3020, 29sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
31 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
327, 31ressmulr 17273 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (.r𝐾) = (.r‘(𝐾s 𝑠)))
3332elv 3475 . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r‘(𝐾s 𝑠))
3433oveqi 7427 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦)
35 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3613, 35ressmulr 17273 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (.r𝐿) = (.r‘(𝐿s 𝑠)))
3736elv 3475 . . . . . . . 8 (.r𝐿) = (.r‘(𝐿s 𝑠))
3837oveqi 7427 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦)
394, 34, 383eqtr3g 2790 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
4020, 39sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
4111, 17, 30, 40rngpropd 20098 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾s 𝑠) ∈ Rng ↔ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng))
421, 2eqtr3d 2769 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4342sseq2d 4010 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
445, 41, 433anbi123d 1433 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿))))
458issubrng 20466 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
4614issubrng 20466 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
4744, 45, 463bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿)))
4847eqrdv 2725 1 (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  cin 3943  wss 3944  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  s cress 17194  +gcplusg 17218  .rcmulr 17219  Rngcrng 20076  SubRngcsubrng 20464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-subrng 20465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator