Theorem subrngpropd 20825

Description: If two structures have the same ring components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrngpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrngpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrngpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrngpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrngpropd	⊢ (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrngpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrngpropd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrngpropd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrngpropd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrngpropd.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	rngpropd 20401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Rng ↔ 𝐿 ∈ Rng))
6	1	ineq2d 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 17419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 17419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3455	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4099	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 17467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 17467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 17483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 17483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3455	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	rngpropd 20401	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng))
42	1, 2	eqtr3d 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
43	42	sseq2d 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
44	5, 41, 43	3anbi123d 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿))))
45	8	issubrng 20804	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
46	14	issubrng 20804	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
47	44, 45, 46	3bitr4g 317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿)))
48	47	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Rngcrng 20379  SubRngcsubrng 20802

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-subrng 20803

This theorem is used by: (None)