MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrngpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrngpropd 20464
Description: If two structures have the same ring components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
subrngpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
subrngpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
subrngpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
subrngpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
subrngpropd (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrngpropd
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrngpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 subrngpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 subrngpropd.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 subrngpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4rngpropd 20075 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ Rng ↔ 𝐿 ∈ Rng))
61ineq2d 4212 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝐾s 𝑠) = (𝐾s 𝑠)
8 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
97, 8ressbas 17186 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝑠)))
109elv 3479 . . . . . 6 (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝑠))
116, 10eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (Base‘(𝐾s 𝑠)))
122ineq2d 4212 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝐿s 𝑠) = (𝐿s 𝑠)
14 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
1513, 14ressbas 17186 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿s 𝑠)))
1615elv 3479 . . . . . 6 (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿s 𝑠))
1712, 16eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠𝐵) = (Base‘(𝐿s 𝑠)))
18 elinel2 4196 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) → 𝑥𝐵)
19 elinel2 4196 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑠𝐵) → 𝑦𝐵)
2018, 19anim12i 612 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵)) → (𝑥𝐵𝑦𝐵))
21 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (+g𝐾) = (+g𝐾)
227, 21ressplusg 17242 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (+g𝐾) = (+g‘(𝐾s 𝑠)))
2322elv 3479 . . . . . . . 8 (+g𝐾) = (+g‘(𝐾s 𝑠))
2423oveqi 7425 . . . . . . 7 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦)
25 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (+g𝐿) = (+g𝐿)
2613, 25ressplusg 17242 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (+g𝐿) = (+g‘(𝐿s 𝑠)))
2726elv 3479 . . . . . . . 8 (+g𝐿) = (+g‘(𝐿s 𝑠))
2827oveqi 7425 . . . . . . 7 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦)
293, 24, 283eqtr3g 2794 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
3020, 29sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
31 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
327, 31ressmulr 17259 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (.r𝐾) = (.r‘(𝐾s 𝑠)))
3332elv 3479 . . . . . . . 8 (.r𝐾) = (.r‘(𝐾s 𝑠))
3433oveqi 7425 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦)
35 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3613, 35ressmulr 17259 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ V → (.r𝐿) = (.r‘(𝐿s 𝑠)))
3736elv 3479 . . . . . . . 8 (.r𝐿) = (.r‘(𝐿s 𝑠))
3837oveqi 7425 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦)
394, 34, 383eqtr3g 2794 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
4020, 39sylan2 592 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿s 𝑠))𝑦))
4111, 17, 30, 40rngpropd 20075 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾s 𝑠) ∈ Rng ↔ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng))
421, 2eqtr3d 2773 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
4342sseq2d 4014 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
445, 41, 433anbi123d 1435 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿))))
458issubrng 20443 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ (𝐾 ∈ Rng ∧ (𝐾s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐾)))
4614issubrng 20443 . . 3 (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿) ↔ (𝐿 ∈ Rng ∧ (𝐿s 𝑠) ∈ Rng ∧ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
4744, 45, 463bitr4g 314 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRng‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRng‘𝐿)))
4847eqrdv 2729 1 (𝜑 → (SubRng‘𝐾) = (SubRng‘𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  s cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Rngcrng 20053  SubRngcsubrng 20441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-subrng 20442
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator