Theorem swrdnd 14689

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1093	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
2		df-3or 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
3	1, 2	bitri 275	. . 3 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
4		swrdlend 14688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5	4	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6		swrdval 14678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
8		zre 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
9		0red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
11	10	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
12		lencl 14568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14		zre 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
15	13, 14	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
16	15	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
17		ltnle 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
19	11, 18	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
20	19	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
22	21	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		ianor 983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
24	22, 23	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25		3simpc 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
26	12	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
27		0z 12622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
28	26, 27	jctil 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30		ltnle 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
31	8, 14, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
32	31	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
33	32	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
36		ssfzo12bi 13797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
37	25, 29, 35, 36	syl2an23an 1422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
38	24, 37	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
39		wrddm 14556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
40	39	sseq2d 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
44	38, 43	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
45	44	iffalsed 4542	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
46	7, 45	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
47	46	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
48	47	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
49	5, 48	jaoi3 1060	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
50	49	orcoms 872	. . 3 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
51	3, 50	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
52	51	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  ifcif 4531  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℤcz 12611  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   substr csubstr 14675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676

This theorem is referenced by:  swrdnnn0nd  14691  swrdnd0  14692  pfxnd  14722