MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd 14610
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orcomb 1092 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹))
2 df-3or 1086 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
31, 2bitri 274 . . 3 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
4 swrdlend 14609 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
54com12 32 . . . . 5 (𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6 swrdval 14599 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
76adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
8 zre 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
9 0red 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
108, 9ltnled 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
11103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
12 lencl 14489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0red 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14 zre 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1513, 14anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
16153adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
17 ltnle 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1911, 18orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2019biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2120adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2221imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23 ianor 978 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2422, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25 3simpc 1148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2612nn0zd 12590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
27 0z 12575 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
2826, 27jctil 518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29283ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30 ltnle 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
318, 14, 30syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
32313adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
3332biimprcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3534imp 405 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
36 ssfzo12bi 13733 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
3725, 29, 35, 36syl2an23an 1421 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
3824, 37mtbird 324 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
39 wrddm 14477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4039sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4140notbid 317 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
42413ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4342adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4438, 43mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
4544iffalsed 4540 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
467, 45eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
4746exp31 418 . . . . . 6 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
4847impcom 406 . . . . 5 ((¬ 𝐿𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
495, 48jaoi3 1057 . . . 4 ((𝐿𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5049orcoms 868 . . 3 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
513, 50sylbi 216 . 2 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5251com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 843  w3o 1084  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529  cop 4635   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5677  cfv 6544  (class class class)co 7413  cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   < clt 11254  cle 11255  cmin 11450  cz 12564  ..^cfzo 13633  chash 14296  Word cword 14470   substr csubstr 14596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14297  df-word 14471  df-substr 14597
This theorem is referenced by:  swrdnnn0nd  14612  swrdnd0  14613  pfxnd  14643
  Copyright terms: Public domain W3C validator