Theorem swrdnd 14665

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1104	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
2		df-3or 1098	. . . 4 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
3	1, 2	bitri 277	. . 3 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹))
4		swrdlend 14664	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5	4	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6		swrdval 14654	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
7	6	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
8		zre 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
9		0red 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
10	8, 9	ltnled 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
11	10	3ad2ant2 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
12		lencl 14543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
13	12	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14		zre 12569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
15	13, 14	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
16	15	3adant2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
17		ltnle 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
19	11, 18	orbi12d 929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
20	19	biimpcd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
22	21	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23		ianor 994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
24	22, 23	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25		3simpc 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
26	12	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
27		0z 12576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
28	26, 27	jctil 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
29	28	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30		ltnle 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
31	8, 14, 30	syl2an 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
32	31	3adant1 1142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹))
33	32	biimprcd 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
34	33	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
35	34	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
36		ssfzo12bi 13764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
37	25, 29, 35, 36	syl2an23an 1441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
38	24, 37	mtbird 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
39		wrddm 14531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
40	39	sseq2d 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
41	40	notbid 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
42	41	3ad2ant1 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
43	42	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
44	38, 43	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
45	44	iffalsed 4490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿 − 𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
46	7, 45	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿 ≤ 𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
47	46	exp31 423	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿 ≤ 𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
48	47	impcom 411	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐿 ≤ 𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
49	5, 48	jaoi3 1071	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
50	49	orcoms 883	. . 3 ⊢ (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿 ≤ 𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
51	3, 50	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
52	51	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿 ≤ 𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℤcz 12565  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   substr csubstr 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-substr 14652

This theorem is referenced by:  swrdnnn0nd  14667  swrdnd0  14668  pfxnd  14698