MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd2 13681
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 1111 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)))
2 pm2.24 122 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3 swrdval 13664 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
43ad2antrr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5 wrdf 13535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
65fdmd 6263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
7 lencl 13549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8 3anass 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
9 ssfzoulel 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴)))
109imp 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
118, 10sylanbr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
1211con3dimp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
13 sseq2 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
1413notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
1512, 14syl5ibr 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
1615expd 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
1716exp4c 424 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
186, 7, 17sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
19183impib 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
2019imp 396 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
2120imp 396 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
2221iffalsed 4286 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
234, 22eqtrd 2831 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
2423ex 402 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2524expcom 403 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
2625com23 86 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
272, 26jaoi 884 . . . 4 ((𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
28 swrdlend 13679 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2928com12 32 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
3027, 29pm2.61d2 174 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
311, 30sylbi 209 . 2 ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
3231com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874  w3o 1107  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wss 3767  c0 4113  ifcif 4275  cop 4372   class class class wbr 4841  cmpt 4920  dom cdm 5310  cfv 6099  (class class class)co 6876  0cc0 10222   + caddc 10225  cle 10362  cmin 10554  0cn0 11576  cz 11662  ..^cfzo 12716  chash 13366  Word cword 13530   substr csubstr 13661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-hash 13367  df-word 13531  df-substr 13662
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator