MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd2 14690
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 1089 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)))
2 pm2.24 124 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3 swrdval 14678 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
43ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5 wrddm 14556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6 lencl 14568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7 3anass 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
8 ssfzoulel 13796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴)))
98imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
107, 9sylanbr 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
1110con3dimp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12 sseq2 4022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
1312notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
1411, 13imbitrrid 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
1514exp5j 445 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
165, 6, 15sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
17163impib 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
1817imp31 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
1918iffalsed 4542 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
204, 19eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
2120ex 412 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2221expcom 413 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
2322com23 86 . . . . 5 (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
242, 23jaoi 857 . . . 4 ((𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
25 swrdlend 14688 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2625com12 32 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2724, 26pm2.61d2 181 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
281, 27sylbi 217 . 2 ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2928com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153   + caddc 11156  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   substr csubstr 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-substr 14676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator