Theorem swrdnd2 14565

Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)))
2		pm2.24 124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3		swrdval 14553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5		wrddm 14430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6		lencl 14442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
8		ssfzoulel 13662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴)))
9	8	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 9	sylanbr 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
15	14	exp5j 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
16	5, 6, 15	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
17	16	3impib 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
18	17	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
19	18	iffalsed 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
20	4, 19	eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
21	20	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
22	21	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
23	22	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
24	2, 23	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
25		swrdlend 14563	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
26	25	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
27	24, 26	pm2.61d2 181	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
28	1, 27	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
29	28	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ifcif 4474  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013   + caddc 11016   ≤ cle 11154   − cmin 11351  ℕ₀cn0 12388  ℤcz 12475  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  Word cword 14422   substr csubstr 14550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-substr 14551

This theorem is referenced by: (None)