Theorem swrdnd2 14810

Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1106	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)))
2		pm2.24 125	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3		swrdval 14796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
4	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5		wrddm 14670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6		lencl 14682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		3anass 1111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
8		ssfzoulel 13899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴)))
9	8	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 9	sylanbr 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	con3dimp 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		sseq2 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
15	14	exp5j 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
16	5, 6, 15	sylc 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
17	16	3impib 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
18	17	imp31 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
19	18	iffalsed 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
20	4, 19	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
21	20	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
22	21	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
23	22	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
24	2, 23	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
25		swrdlend 14808	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
26	25	com12 33	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
27	24, 26	pm2.61d2 183	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
28	1, 27	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
29	28	com12 33	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ifcif 4481  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  0cc0 11204   + caddc 11207   ≤ cle 11348   − cmin 11545  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ..^cfzo 13792  ♯chash 14478  Word cword 14662   substr csubstr 14793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-substr 14794

This theorem is used by: (None)