Theorem swrdnd2 14666

Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1100	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)))
2		pm2.24 124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3		swrdval 14654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
4	3	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5		wrddm 14531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6		lencl 14543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		3anass 1105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
8		ssfzoulel 13763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴)))
9	8	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 9	sylanbr 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	con3dimp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
15	14	exp5j 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
16	5, 6, 15	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
17	16	3impib 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
18	17	imp31 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
19	18	iffalsed 4490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
20	4, 19	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
21	20	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
22	21	expcom 417	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
23	22	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
24	2, 23	jaoi 868	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
25		swrdlend 14664	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
26	25	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
27	24, 26	pm2.61d2 182	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
28	1, 27	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
29	28	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ifcif 4479  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070   + caddc 11073   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   substr csubstr 14651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-substr 14652

This theorem is referenced by: (None)