Theorem swrdnd2 14694

Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orass 1089	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)))
2		pm2.24 124	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3		swrdval 14682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
4	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5		wrddm 14560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
6		lencl 14572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		3anass 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
8		ssfzoulel 13800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴)))
9	8	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	7, 9	sylanbr 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐵 ≤ 𝐴))
11	10	con3dimp 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
12		sseq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
13	12	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
14	11, 13	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → (((((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
15	14	exp5j 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
16	5, 6, 15	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
17	16	3impib 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
18	17	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
19	18	iffalsed 4535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵 − 𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
20	4, 19	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
21	20	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
22	21	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
23	22	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
24	2, 23	jaoi 857	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
25		swrdlend 14692	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
26	25	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
27	24, 26	pm2.61d2 181	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ ((♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
28	1, 27	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
29	28	com12 32	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ (♯‘𝑊) ≤ 𝐴 ∨ 𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  0cc0 11156   + caddc 11159   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370  Word cword 14553   substr csubstr 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-substr 14680

This theorem is referenced by: (None)