Theorem tgbtwndiff 26295

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (♯‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwndiff.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwndiff	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   − ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwndiff.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwndiff.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwndiff.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwndiff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwndiff.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwndiff.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
11		simplr 767	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11	axtgsegcon 26253	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)))
13	5	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ∈ 𝑃)
15	11	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣 ∈ 𝑃)
16	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
18	17	oveq2d 7175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝑐))
19		simplr 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣))
20	18, 19	eqtr2d 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 − 𝑣) = (𝐵 − 𝐵))
21	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20	axtgcgrid 26252	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22		simp-4r 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ≠ 𝑣)
23	22	neneqd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
24	21, 23	pm2.65da 815	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
25	24	neqned 3026	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐵 ≠ 𝑐)
26	25	ex 415	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
27	26	anim2d 613	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	27	reximdva 3277	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
29	12, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
30		tgbtwndiff.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	1, 2, 3, 4, 30	tglowdim1 26289	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑢 ≠ 𝑣)
32	29, 31	r19.29vva 3339	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∃wrex 3142   class class class wbr 5069  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ≤ cle 10679  2c2 11695  ♯chash 13693  Basecbs 16486  distcds 16577  TarskiGcstrkg 26219  Itvcitv 26225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694  df-trkgc 26237  df-trkgcb 26239  df-trkg 26242

This theorem is referenced by:  tgifscgr  26297  tgcgrxfr  26307  tgbtwnconn3  26366  legtrid  26380  hlcgrex  26405  hlcgreulem  26406  midexlem  26481  hpgerlem  26554