Theorem tgbtwndiff 28484

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (♯‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwndiff.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwndiff	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   − ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwndiff.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwndiff.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwndiff.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwndiff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwndiff.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwndiff.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		simpllr 775	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
11		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11	axtgsegcon 28442	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)))
13	5	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ∈ 𝑃)
15	11	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣 ∈ 𝑃)
16	9	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
18	17	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝑐))
19		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣))
20	18, 19	eqtr2d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 − 𝑣) = (𝐵 − 𝐵))
21	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20	axtgcgrid 28441	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ≠ 𝑣)
23	22	neneqd 2933	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
24	21, 23	pm2.65da 816	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
25	24	neqned 2935	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐵 ≠ 𝑐)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
27	26	anim2d 612	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	27	reximdva 3145	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
29	12, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
30		tgbtwndiff.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	1, 2, 3, 4, 30	tglowdim1 28478	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑢 ≠ 𝑣)
32	29, 31	r19.29vva 3192	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ≤ cle 11147  2c2 12180  ♯chash 14237  Basecbs 17120  distcds 17170  TarskiGcstrkg 28405  Itvcitv 28411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238  df-trkgc 28426  df-trkgcb 28428  df-trkg 28431

This theorem is referenced by:  tgifscgr  28486  tgcgrxfr  28496  tgbtwnconn3  28555  legtrid  28569  hlcgrex  28594  hlcgreulem  28595  midexlem  28670  hpgerlem  28743