Theorem tgbtwndiff 28596

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (♯‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwndiff.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwndiff	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   − ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwndiff.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwndiff.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwndiff.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwndiff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwndiff.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwndiff.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 731	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
11		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11	axtgsegcon 28554	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)))
13	5	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ∈ 𝑃)
15	11	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣 ∈ 𝑃)
16	9	ad3antrrr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
18	17	oveq2d 7386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝑐))
19		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣))
20	18, 19	eqtr2d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 − 𝑣) = (𝐵 − 𝐵))
21	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20	axtgcgrid 28553	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ≠ 𝑣)
23	22	neneqd 2938	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
24	21, 23	pm2.65da 817	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
25	24	neqned 2940	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐵 ≠ 𝑐)
26	25	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
27	26	anim2d 613	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	27	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
29	12, 28	mpd 15	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
30		tgbtwndiff.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	1, 2, 3, 4, 30	tglowdim1 28590	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑢 ≠ 𝑣)
32	29, 31	r19.29vva 3198	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ≤ cle 11181  2c2 12214  ♯chash 14267  Basecbs 17150  distcds 17200  TarskiGcstrkg 28516  Itvcitv 28522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-hash 14268  df-trkgc 28537  df-trkgcb 28539  df-trkg 28542

This theorem is referenced by:  tgifscgr  28598  tgcgrxfr  28608  tgbtwnconn3  28667  legtrid  28681  hlcgrex  28706  hlcgreulem  28707  midexlem  28782  hpgerlem  28855