Theorem tgbtwndiff 28969

Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (♯‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwndiff.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
tgbtwndiff	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

Distinct variable groups:   − ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwndiff.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwndiff.d	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwndiff.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwndiff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tgbtwndiff.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		tgbtwndiff.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑃)
11		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → 𝑣 ∈ 𝑃)
12	1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11	axtgsegcon 28926	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)))
13	5	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ∈ 𝑃)
15	11	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣 ∈ 𝑃)
16	9	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
18	17	oveq2d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝐵) = (𝐵 − 𝑐))
19		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣))
20	18, 19	eqtr2d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 − 𝑣) = (𝐵 − 𝐵))
21	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20	axtgcgrid 28925	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 ≠ 𝑣)
23	22	neneqd 2961	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
24	21, 23	pm2.65da 829	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
25	24	neqned 2963	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → 𝐵 ≠ 𝑐)
26	25	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣) → 𝐵 ≠ 𝑐))
27	26	anim2d 624	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
28	27	reximdva 3176	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 − 𝑐) = (𝑢 − 𝑣)) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐)))
29	12, 28	mpd 16	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))
30		tgbtwndiff.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	1, 2, 3, 4, 30	tglowdim1 28963	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝑃 ∃𝑣 ∈ 𝑃 𝑢 ≠ 𝑣)
32	29, 31	r19.29vva 3223	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵 ≠ 𝑐))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ≤ cle 11344  2c2 12397  ♯chash 14474  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-trkgc 28910  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915

This theorem is used by:  tgifscgr  28971  tgcgrxfr  28981  tgbtwnconn3  29040  legtrid  29054  hlcgrex  29082  hlcgreulem  29083  tglnpt3  29122  midexlem  29164  hpgerlem  29243  plngrotlem3  29267  prlngmolem1  29430