MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwndiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwndiff 27737
Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐵 such that 𝐵 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≤ (♯‘𝑃) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwndiff.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwndiff.d = (dist‘𝐺)
tgbtwndiff.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwndiff.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwndiff.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwndiff.l (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
tgbtwndiff (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
Distinct variable groups:   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwndiff.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwndiff.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
3 tgbtwndiff.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwndiff.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwndiff.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
76ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐴𝑃)
8 tgbtwndiff.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
98ad3antrrr 729 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝐵𝑃)
10 simpllr 775 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑢𝑃)
11 simplr 768 . . . 4 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → 𝑣𝑃)
121, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11axtgsegcon 27695 . . 3 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)))
135ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1410ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢𝑃)
1511ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑣𝑃)
169ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵𝑃)
17 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝐵 = 𝑐)
1817oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 𝐵) = (𝐵 𝑐))
19 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣))
2018, 19eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → (𝑢 𝑣) = (𝐵 𝐵))
211, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20axtgcgrid 27694 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢 = 𝑣)
22 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → 𝑢𝑣)
2322neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) ∧ 𝐵 = 𝑐) → ¬ 𝑢 = 𝑣)
2421, 23pm2.65da 816 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → ¬ 𝐵 = 𝑐)
2524neqned 2948 . . . . . 6 ((((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → 𝐵𝑐)
2625ex 414 . . . . 5 (((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣) → 𝐵𝑐))
2726anim2d 613 . . . 4 (((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐)))
2827reximdva 3169 . . 3 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑢 𝑣)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐)))
2912, 28mpd 15 . 2 ((((𝜑𝑢𝑃) ∧ 𝑣𝑃) ∧ 𝑢𝑣) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
30 tgbtwndiff.l . . 3 (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
311, 2, 3, 4, 30tglowdim1 27731 . 2 (𝜑 → ∃𝑢𝑃𝑣𝑃 𝑢𝑣)
3229, 31r19.29vva 3214 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐵𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cle 11245  2c2 12263  chash 14286  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Itvcitv 27664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-trkgc 27679  df-trkgcb 27681  df-trkg 27684
This theorem is referenced by:  tgifscgr  27739  tgcgrxfr  27749  tgbtwnconn3  27808  legtrid  27822  hlcgrex  27847  hlcgreulem  27848  midexlem  27923  hpgerlem  27996
  Copyright terms: Public domain W3C validator