MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwndiff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwndiff 28021
Description: There is always a 𝑐 distinct from 𝐡 such that 𝐡 lies between 𝐴 and 𝑐. Theorem 3.14 of [Schwabhauser] p. 32. The condition "the space is of dimension 1 or more" is written here as 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ) for simplicity. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwndiff.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgbtwndiff.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgbtwndiff.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgbtwndiff.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwndiff.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgbtwndiff.l (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
tgbtwndiff (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐡 β‰  𝑐))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐡,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   πœ‘,𝑐
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem tgbtwndiff
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgbtwndiff.p . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tgbtwndiff.d . . . 4 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 tgbtwndiff.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 tgbtwndiff.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwndiff.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
76ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 tgbtwndiff.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
98ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
10 simpllr 773 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
11 simplr 766 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
121, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11axtgsegcon 27979 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)))
135ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1410ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝑒 ∈ 𝑃)
1511ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝑣 ∈ 𝑃)
169ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝐡 = 𝑐)
1817oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = (𝐡 βˆ’ 𝑐))
19 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣))
2018, 19eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑣) = (𝐡 βˆ’ 𝐡))
211, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 20axtgcgrid 27978 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝑒 = 𝑣)
22 simp-4r 781 . . . . . . . . 9 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ 𝑒 β‰  𝑣)
2322neneqd 2944 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) ∧ 𝐡 = 𝑐) β†’ Β¬ 𝑒 = 𝑣)
2421, 23pm2.65da 814 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) β†’ Β¬ 𝐡 = 𝑐)
2524neqned 2946 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) β†’ 𝐡 β‰  𝑐)
2625ex 412 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣) β†’ 𝐡 β‰  𝑐))
2726anim2d 611 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) β†’ (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐡 β‰  𝑐)))
2827reximdva 3167 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐡 βˆ’ 𝑐) = (𝑒 βˆ’ 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐡 β‰  𝑐)))
2912, 28mpd 15 . 2 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ 𝑣 ∈ 𝑃) ∧ 𝑒 β‰  𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐡 β‰  𝑐))
30 tgbtwndiff.l . . 3 (πœ‘ β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
311, 2, 3, 4, 30tglowdim1 28015 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑃 𝑒 β‰  𝑣)
3229, 31r19.29vva 3212 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐡 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ 𝐡 β‰  𝑐))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ≀ cle 11254  2c2 12272  β™―chash 14295  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 27942  Itvcitv 27948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296  df-trkgc 27963  df-trkgcb 27965  df-trkg 27968
This theorem is referenced by:  tgifscgr  28023  tgcgrxfr  28033  tgbtwnconn3  28092  legtrid  28106  hlcgrex  28131  hlcgreulem  28132  midexlem  28207  hpgerlem  28280
  Copyright terms: Public domain W3C validator