Theorem tgldim0eq 28587

Description: In dimension zero, any two points are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldim0.g	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldim0.p	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
tgldim0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgldim0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldim0eq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem tgldim0eq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldim0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
2		tgldim0.g	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
3	2	fvexi 6856	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hash1snb 14354	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
6	1, 5	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
7		tgldim0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝑃 = {𝑥})
10	8, 9	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ {𝑥})
11		elsni 4599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥} → 𝐴 = 𝑥)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝑥)
13		tgldim0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14, 9	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
16		elsni 4599	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
18	12, 17	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝐵)
19	6, 18	exlimddv 1937	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582  ‘cfv 6500  1c1 11039  ♯chash 14265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  tgldim0itv  28588  tgldim0cgr  28589  tglndim0  28713