Theorem tgldim0eq 28783

Description: In dimension zero, any two points are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldim0.g	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldim0.p	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
tgldim0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgldim0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldim0eq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem tgldim0eq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldim0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
2		tgldim0.g	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
3	2	fvexi 6895	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hash1snb 14463	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
6	1, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
7		tgldim0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝑃 = {𝑥})
10	8, 9	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ {𝑥})
11		elsni 4605	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥} → 𝐴 = 𝑥)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝑥)
13		tgldim0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14, 9	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
16		elsni 4605	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
18	12, 17	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝐵)
19	6, 18	exlimddv 1964	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4588  ‘cfv 6536  1c1 11107  ♯chash 14373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-hash 14374

This theorem is used by:  tgldim0itv  28784  tgldim0cgr  28785  tglndim0  28913