Theorem tgldim0eq 27792

Description: In dimension zero, any two points are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldim0.g	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldim0.p	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
tgldim0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgldim0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldim0eq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem tgldim0eq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldim0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
2		tgldim0.g	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
3	2	fvexi 6905	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hash1snb 14381	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
6	1, 5	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
7		tgldim0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝑃 = {𝑥})
10	8, 9	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ {𝑥})
11		elsni 4645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥} → 𝐴 = 𝑥)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝑥)
13		tgldim0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14, 9	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
16		elsni 4645	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
18	12, 17	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝐵)
19	6, 18	exlimddv 1938	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  ‘cfv 6543  1c1 11113  ♯chash 14292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-hash 14293

This theorem is referenced by:  tgldim0itv  27793  tgldim0cgr  27794  tglndim0  27918