Theorem tgldim0eq 28967

Description: In dimension zero, any two points are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldim0.g	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldim0.p	⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
tgldim0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgldim0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldim0eq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem tgldim0eq

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldim0.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = 1)
2		tgldim0.g	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
3	2	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hash1snb 14565	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥}))
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
6	1, 5	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑃 = {𝑥})
7		tgldim0.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝑃 = {𝑥})
10	8, 9	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 ∈ {𝑥})
11		elsni 4600	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥} → 𝐴 = 𝑥)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝑥)
13		tgldim0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ 𝑃)
15	14, 9	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 ∈ {𝑥})
16		elsni 4600	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑥} → 𝐵 = 𝑥)
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐵 = 𝑥)
18	12, 17	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 = {𝑥}) → 𝐴 = 𝐵)
19	6, 18	exlimddv 1967	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4583  ‘cfv 6538  1c1 11202  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476

This theorem is used by:  tgldim0itv  28968  tgldim0cgr  28969  tglndim0  29098