Theorem tgldimor 28429

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2	1	fvexi 6872	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
3		hashv01gt1 14310	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5		3orass 1089	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
6	4, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7		1p1e2 12306	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
8		1z 12563	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nn0z 12554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10		zltp1le 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
12	11	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
13	7, 12	eqbrtrrid 5143	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14		2re 12260	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16		pnfge 13090	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
18		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21		hashnn0pnf 14307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
22	2, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
23	13, 20, 22	mpjaodan 960	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	orim2i 910	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
25	24	orim2i 910	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
26	6, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27		tgldimor.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		ne0i 4304	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
29		hasheq0 14328	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
31	30	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
32	31	necon3ai 2950	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
33		biorf 936	. . 3 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
34	27, 28, 32, 33	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
35	26, 34	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  tgifscgr  28435  tgcgrxfr  28445  tgbtwnconn3  28504  legtrid  28518  hpgerlem  28692