MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgldimor 27486
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p 𝑃 = (𝐸𝐹)
tgldimor.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgldimor (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐹)
21fvexi 6861 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3 hashv01gt1 14252 . . . . 5 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5 3orass 1091 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
64, 5mpbi 229 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7 1p1e2 12285 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
8 1z 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
9 nn0z 12531 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10 zltp1le 12560 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
118, 9, 10sylancr 588 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
1211biimpac 480 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
137, 12eqbrtrrid 5146 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1514rexri 11220 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
16 pnfge 13058 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ≤ +∞
18 breq2 5114 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
1917, 18mpbiri 258 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2019adantl 483 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21 hashnn0pnf 14249 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
222, 21mp1i 13 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
2313, 20, 22mpjaodan 958 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423orim2i 910 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2524orim2i 910 . . 3 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
266, 25mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27 tgldimor.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
28 ne0i 4299 . . . 4 (𝐴𝑃𝑃 ≠ ∅)
29 hasheq0 14270 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
3130biimpi 215 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
3231necon3ai 2969 . . . 4 (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
3327, 28, 323syl 18 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
34 biorf 936 . . 3 (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3533, 34syl 17 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3626, 35mpbird 257 1 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3448  c0 4287   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  *cxr 11195   < clt 11196  cle 11197  2c2 12215  0cn0 12420  cz 12506  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  tgifscgr  27492  tgcgrxfr  27502  tgbtwnconn3  27561  legtrid  27575  hpgerlem  27749
  Copyright terms: Public domain W3C validator