Theorem tgldimor 28475

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2	1	fvexi 6831	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
3		hashv01gt1 14247	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5		3orass 1089	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
6	4, 5	mpbi 230	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7		1p1e2 12240	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
8		1z 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nn0z 12488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10		zltp1le 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
12	11	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
13	7, 12	eqbrtrrid 5122	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14		2re 12194	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11165	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16		pnfge 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
18		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21		hashnn0pnf 14244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
22	2, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
23	13, 20, 22	mpjaodan 960	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	orim2i 910	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
25	24	orim2i 910	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
26	6, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27		tgldimor.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		ne0i 4286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
29		hasheq0 14265	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
31	30	biimpi 216	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
32	31	necon3ai 2953	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
33		biorf 936	. . 3 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
34	27, 28, 32, 33	4syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
35	26, 34	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4278   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  +∞cpnf 11138  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ♯chash 14232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233

This theorem is referenced by:  tgifscgr  28481  tgcgrxfr  28491  tgbtwnconn3  28550  legtrid  28564  hpgerlem  28738