Theorem tgldimor 29022

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2	1	fvexi 6930	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
3		hashv01gt1 14530	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5		3orass 1106	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
6	4, 5	mpbi 233	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7		1p1e2 12506	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
8		1z 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nn0z 12757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10		zltp1le 12786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
11	8, 9, 10	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
12	11	biimpac 484	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
13	7, 12	eqbrtrrid 5147	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14		2re 12457	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16		pnfge 13299	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
18		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
19	17, 18	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21		hashnn0pnf 14527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
22	2, 21	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
23	13, 20, 22	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	orim2i 924	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
25	24	orim2i 924	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
26	6, 25	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27		tgldimor.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		ne0i 4290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
29		hasheq0 14548	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
31	30	biimpi 219	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
32	31	necon3ai 2984	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
33		biorf 950	. . 3 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
34	27, 28, 32, 33	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
35	26, 34	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242  +∞cpnf 11379  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ♯chash 14515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516

This theorem is used by:  tgifscgr  29028  tgcgrxfr  29038  tgbtwnconn3  29097  legtrid  29111  hpgerlem  29300