MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgldimor 26299
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p 𝑃 = (𝐸𝐹)
tgldimor.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgldimor (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐸𝐹)
21fvexi 6663 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3 hashv01gt1 13705 . . . . 5 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5 3orass 1087 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
64, 5mpbi 233 . . 3 ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7 1p1e2 11754 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
8 1z 12004 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
9 nn0z 11997 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10 zltp1le 12024 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
118, 9, 10sylancr 590 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
1211biimpac 482 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
137, 12eqbrtrrid 5069 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14 2re 11703 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1514rexri 10692 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
16 pnfge 12517 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 ≤ +∞
18 breq2 5037 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
1917, 18mpbiri 261 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2019adantl 485 . . . . . 6 ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21 hashnn0pnf 13702 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
222, 21mp1i 13 . . . . . 6 (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
2313, 20, 22mpjaodan 956 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
2423orim2i 908 . . . 4 (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
2524orim2i 908 . . 3 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
266, 25mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27 tgldimor.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
28 ne0i 4253 . . . 4 (𝐴𝑃𝑃 ≠ ∅)
29 hasheq0 13724 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
302, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
3130biimpi 219 . . . . 5 ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
3231necon3ai 3015 . . . 4 (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
3327, 28, 323syl 18 . . 3 (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
34 biorf 934 . . 3 (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3533, 34syl 17 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
3626, 35mpbird 260 1 (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3o 1083   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  c0 4246   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  chash 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-hash 13691
This theorem is referenced by:  tgifscgr  26305  tgcgrxfr  26315  tgbtwnconn3  26374  legtrid  26388  hpgerlem  26562
  Copyright terms: Public domain W3C validator