Theorem tgldimor 28261

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2	1	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
3		hashv01gt1 14310	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5		3orass 1087	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
6	4, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7		1p1e2 12341	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
8		1z 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nn0z 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10		zltp1le 12616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
11	8, 9, 10	sylancr 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
12	11	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
13	7, 12	eqbrtrrid 5177	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14		2re 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16		pnfge 13116	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
18		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
19	17, 18	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21		hashnn0pnf 14307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
22	2, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
23	13, 20, 22	mpjaodan 955	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	orim2i 907	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
25	24	orim2i 907	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
26	6, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27		tgldimor.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		ne0i 4329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
29		hasheq0 14328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
31	30	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
32	31	necon3ai 2959	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
33	27, 28, 32	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
34		biorf 933	. . 3 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
35	33, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
36	26, 35	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468  ∅c0 4317   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253  2c2 12271  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  tgifscgr  28267  tgcgrxfr  28277  tgbtwnconn3  28336  legtrid  28350  hpgerlem  28524