Theorem tgldimor 27750

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2	1	fvexi 6905	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
3		hashv01gt1 14304	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))
5		3orass 1090	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))))
6	4, 5	mpbi 229	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)))
7		1p1e2 12336	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
8		1z 12591	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		nn0z 12582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑃) ∈ ℤ)
10		zltp1le 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
11	8, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃)))
12	11	biimpac 479	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (♯‘𝑃))
13	7, 12	eqbrtrrid 5184	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
14		2re 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16		pnfge 13109	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
18		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (♯‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
19	17, 18	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (♯‘𝑃))
20	19	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (♯‘𝑃) ∧ (♯‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
21		hashnn0pnf 14301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
22	2, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝑃) = +∞))
23	13, 20, 22	mpjaodan 957	. . . . 5 ⊢ (1 < (♯‘𝑃) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
24	23	orim2i 909	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃)) → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))
25	24	orim2i 909	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (♯‘𝑃))) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
26	6, 25	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃))))
27		tgldimor.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		ne0i 4334	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
29		hasheq0 14322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
30	2, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
31	30	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
32	31	necon3ai 2965	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
33	27, 28, 32	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (♯‘𝑃) = 0)
34		biorf 935	. . 3 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 0 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
35	33, 34	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)) ↔ ((♯‘𝑃) = 0 ∨ ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))))
36	26, 35	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ♯chash 14289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-hash 14290

This theorem is referenced by:  tgifscgr  27756  tgcgrxfr  27766  tgbtwnconn3  27825  legtrid  27839  hpgerlem  28013