MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglndim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglndim0 25760
Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
tglndim0 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglndim0.d . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
32ad4antr 715 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (♯‘𝐵) = 1)
4 simpllr 784 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝐵)
5 simplr 776 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝐵)
61, 3, 4, 5tgldim0eq 25634 . . . 4 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
7 simprr 780 . . . 4 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
86, 7pm2.21ddne 3073 . . 3 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ⊥)
9 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 tglineelsb2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1211adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 simpr 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
141, 9, 10, 12, 13tgisline 25758 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
158, 14r19.29vva 3280 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → ⊥)
1615inegd 1658 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wfal 1650  wcel 2157  wne 2989  ran crn 5325  cfv 6110  (class class class)co 6883  1c1 10231  chash 13356  Basecbs 16087  TarskiGcstrkg 25565  Itvcitv 25571  LineGclng 25572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-oadd 7809  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-card 9057  df-cda 9284  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-hash 13357  df-trkg 25588
This theorem is referenced by:  hpgerlem  25893
  Copyright terms: Public domain W3C validator