Theorem tglndim0 28715

Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
tglndim0	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglndim0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
3	2	ad4antr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (♯‘𝐵) = 1)
4		simpllr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6	1, 3, 4, 5	tgldim0eq 28589	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
7		simprr 778	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
8	6, 7	pm2.21ddne 3018	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ⊥)
9		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14	1, 9, 10, 12, 13	tgisline 28713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
15	8, 14	r19.29vva 3199	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ⊥)
16	15	inegd 1567	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  ⊥wfal 1559   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ran crn 5619  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  ♯chash 14283  Basecbs 17170  TarskiGcstrkg 28513  Itvcitv 28519  LineGclng 28520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-trkg 28539

This theorem is referenced by:  hpgerlem  28851