MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglndim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglndim0 28461
Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineelsb2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
Assertion
Ref Expression
tglndim0 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglndim0.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
32ad4antr 730 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
4 simpllr 774 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 simplr 767 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
61, 3, 4, 5tgldim0eq 28335 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ = 𝑦)
7 simprr 771 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
86, 7pm2.21ddne 3023 . . 3 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βŠ₯)
9 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
10 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 tglineelsb2.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1211adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
13 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
141, 9, 10, 12, 13tgisline 28459 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
158, 14r19.29vva 3211 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ βŠ₯)
1615inegd 1553 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βŠ₯wfal 1545   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  β™―chash 14331  Basecbs 17189  TarskiGcstrkg 28259  Itvcitv 28265  LineGclng 28266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-oadd 8499  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-hash 14332  df-trkg 28285
This theorem is referenced by:  hpgerlem  28597
  Copyright terms: Public domain W3C validator