Theorem tglndim0 28979

Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)

Assertion

Ref	Expression
tglndim0	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglndim0.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
3	2	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → (♯‘𝐵) = 1)
4		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
6	1, 3, 4, 5	tgldim0eq 28848	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
7		simprr 785	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
8	6, 7	pm2.21ddne 3039	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦)) → ⊥)
9		tglineelsb2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10		tglineelsb2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		tglineelsb2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
14	1, 9, 10, 12, 13	tgisline 28977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦))
15	8, 14	r19.29vva 3222	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) → ⊥)
16	15	inegd 1590	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊥wfal 1582   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128  ♯chash 14397  Basecbs 17304  TarskiGcstrkg 28771  Itvcitv 28777  LineGclng 28778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398  df-trkg 28797

This theorem is used by:  hpgerlem  29125