MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglndim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglndim0 26097
Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
Assertion
Ref Expression
tglndim0 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglndim0.d . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 1)
32ad4antr 728 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → (♯‘𝐵) = 1)
4 simpllr 772 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝐵)
5 simplr 765 . . . . 5 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝐵)
61, 3, 4, 5tgldim0eq 25971 . . . 4 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
7 simprr 769 . . . 4 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
86, 7pm2.21ddne 3069 . . 3 (((((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦)) → ⊥)
9 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11 tglineelsb2.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
141, 9, 10, 12, 13tgisline 26095 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝐴 = (𝑥𝐿𝑦) ∧ 𝑥𝑦))
158, 14r19.29vva 3297 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ran 𝐿) → ⊥)
1615inegd 1542 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wfal 1534  wcel 2081  wne 2984  ran crn 5444  cfv 6225  (class class class)co 7016  1c1 10384  chash 13540  Basecbs 16312  TarskiGcstrkg 25898  Itvcitv 25904  LineGclng 25905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-hash 13541  df-trkg 25921
This theorem is referenced by:  hpgerlem  26233
  Copyright terms: Public domain W3C validator