MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglndim0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglndim0 28388
Description: There are no lines in dimension 0. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglineelsb2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tglndim0.d (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
Assertion
Ref Expression
tglndim0 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)

Proof of Theorem tglndim0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tglndim0.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
32ad4antr 729 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ (β™―β€˜π΅) = 1)
4 simpllr 773 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 simplr 766 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
61, 3, 4, 5tgldim0eq 28262 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ = 𝑦)
7 simprr 770 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ π‘₯ β‰  𝑦)
86, 7pm2.21ddne 3020 . . 3 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦)) β†’ βŠ₯)
9 tglineelsb2.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
10 tglineelsb2.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 tglineelsb2.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
1211adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
13 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
141, 9, 10, 12, 13tgisline 28386 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (𝐴 = (π‘₯𝐿𝑦) ∧ π‘₯ β‰  𝑦))
158, 14r19.29vva 3207 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐿) β†’ βŠ₯)
1615inegd 1553 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐴 ∈ ran 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ₯wfal 1545   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  ran crn 5670  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  β™―chash 14295  Basecbs 17153  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  LineGclng 28193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-trkg 28212
This theorem is referenced by:  hpgerlem  28524
  Copyright terms: Public domain W3C validator