Theorem totbndss 34063

Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
totbndss	⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Proof of Theorem totbndss

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istotbnd 34055	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
2	1	simprbi 491	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
3		sseq2 3823	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑣 = 𝑋 → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
4	3	biimprcd 242	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∪ 𝑣 = 𝑋 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑣))
5	4	anim1d 605	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → ((∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
6	5	reximdv 3196	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
7	6	ralimdv 3144	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
8	2, 7	mpan9 503	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
9		totbndmet 34058	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
10		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
11	10	sstotbnd 34061	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
12	9, 11	sylan 576	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
13	8, 12	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3769  ∪ cuni 4628   × cxp 5310   ↾ cres 5314  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  ℝ⁺crp 12074  Metcmet 20054  ballcbl 20055  TotBndctotbnd 34052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-totbnd 34054

This theorem is referenced by:  prdsbnd2  34081