Theorem totbndss 38098

Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
totbndss	⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Proof of Theorem totbndss

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istotbnd 38090	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
3		sseq2 3948	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑣 = 𝑋 → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
4	3	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∪ 𝑣 = 𝑋 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑣))
5	4	anim1d 612	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → ((∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
6	5	reximdv 3152	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
7	6	ralimdv 3151	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
8	2, 7	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
9		totbndmet 38093	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
11	10	sstotbnd 38096	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
12	9, 11	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
13	8, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∪ cuni 4850   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝ⁺crp 12942  Metcmet 21338  ballcbl 21339  TotBndctotbnd 38087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-totbnd 38089

This theorem is referenced by:  prdsbnd2  38116