Theorem totbndss 38112

Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
totbndss	⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Proof of Theorem totbndss

Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istotbnd 38104	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
3		sseq2 3949	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑣 = 𝑋 → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋))
4	3	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∪ 𝑣 = 𝑋 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝑣))
5	4	anim1d 612	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → ((∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
6	5	reximdv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
7	6	ralimdv 3152	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑋 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (∪ 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
8	2, 7	mpan9 506	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
9		totbndmet 38107	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
11	10	sstotbnd 38110	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
12	9, 11	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 ⊆ ∪ 𝑣 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑣 ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
13	8, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Fincfn 8886  ℝ⁺crp 12933  Metcmet 21330  ballcbl 21331  TotBndctotbnd 38101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-totbnd 38103

This theorem is referenced by:  prdsbnd2  38130