Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  totbndss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem totbndss 34063
Description: A subset of a totally bounded metric space is totally bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndss ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))

Proof of Theorem totbndss
Dummy variables 𝑏 𝑑 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istotbnd 34055 . . . 4 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
21simprbi 491 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
3 sseq2 3823 . . . . . . 7 ( 𝑣 = 𝑋 → (𝑆 𝑣𝑆𝑋))
43biimprcd 242 . . . . . 6 (𝑆𝑋 → ( 𝑣 = 𝑋𝑆 𝑣))
54anim1d 605 . . . . 5 (𝑆𝑋 → (( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
65reximdv 3196 . . . 4 (𝑆𝑋 → (∃𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∃𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
76ralimdv 3144 . . 3 (𝑆𝑋 → (∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin ( 𝑣 = 𝑋 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
82, 7mpan9 503 . 2 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑)))
9 totbndmet 34058 . . 3 (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑋))
10 eqid 2799 . . . 4 (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
1110sstotbnd 34061 . . 3 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
129, 11sylan 576 . 2 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆) ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ Fin (𝑆 𝑣 ∧ ∀𝑏𝑣𝑥𝑋 𝑏 = (𝑥(ball‘𝑀)𝑑))))
138, 12mpbird 249 1 ((𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆)) ∈ (TotBnd‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wss 3769   cuni 4628   × cxp 5310  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  +crp 12074  Metcmet 20054  ballcbl 20055  TotBndctotbnd 34052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-2 11376  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-totbnd 34054
This theorem is referenced by:  prdsbnd2  34081
  Copyright terms: Public domain W3C validator