MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrspan 28306
Description: A spanning subgraph 𝑆 of a multigraph 𝐺 is a multigraph. (Contributed by AV, 27-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrspan.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan.s (𝜑𝑆𝑊)
uhgrspan.q (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
uhgrspan.r (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐸𝐴))
umgrspan.g (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
Assertion
Ref Expression
umgrspan (𝜑𝑆 ∈ UMGraph)

Proof of Theorem umgrspan
StepHypRef Expression
1 umgrspan.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph)
2 uhgrspan.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 uhgrspan.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
4 uhgrspan.s . . 3 (𝜑𝑆𝑊)
5 uhgrspan.q . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
6 uhgrspan.r . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐸𝐴))
7 umgruhgr 28119 . . . 4 (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ UHGraph)
92, 3, 4, 5, 6, 8uhgrspansubgr 28303 . 2 (𝜑𝑆 SubGraph 𝐺)
10 subumgr 28300 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑆 SubGraph 𝐺) → 𝑆 ∈ UMGraph)
111, 9, 10syl2anc 585 1 (𝜑𝑆 ∈ UMGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5111  cres 5641  cfv 6502  Vtxcvtx 28011  iEdgciedg 28012  UHGraphcuhgr 28071  UMGraphcumgr 28096   SubGraph csubgr 28279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-card 9885  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-fz 13436  df-hash 14242  df-edg 28063  df-uhgr 28073  df-upgr 28097  df-umgr 28098  df-subgr 28280
This theorem is referenced by:  umgrspanop  28310
  Copyright terms: Public domain W3C validator