Theorem upgrbi 26581

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
upgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
upgrbi	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem upgrbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrbi.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		upgrbi.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 4628	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prex 5189	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
6	5	elpw 4428	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
7	4, 6	mpbir 223	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
8	1	elexi 3435	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8	prnz 4586	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅
10		eldifsn 4593	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅))
11	7, 9, 10	mpbir2an 698	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅})
12		hashprlei 13637	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2)
13	12	simpri 478	. 2 ⊢ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2
14		fveq2 6499	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑋, 𝑌}))
15	14	breq1d 4939	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
16	15	elrab 3596	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
17	11, 13, 16	mpbir2an 698	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968  {crab 3093   ∖ cdif 3827   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179  𝒫 cpw 4422  {csn 4441  {cpr 4443   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  Fincfn 8306   ≤ cle 10475  2c2 11495  ♯chash 13505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-dju 9124  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-hash 13506

This theorem is referenced by: (None)