MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrbi 26884
Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrbi.x 𝑋𝑉
upgrbi.y 𝑌𝑉
Assertion
Ref Expression
upgrbi {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem upgrbi
StepHypRef Expression
1 upgrbi.x . . . . 5 𝑋𝑉
2 upgrbi.y . . . . 5 𝑌𝑉
3 prssi 4727 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
41, 2, 3mp2an 691 . . . 4 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5 prex 5310 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} ∈ V
65elpw 4515 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
74, 6mpbir 234 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
81elexi 3488 . . . 4 𝑋 ∈ V
98prnz 4686 . . 3 {𝑋, 𝑌} ≠ ∅
10 eldifsn 4693 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅))
117, 9, 10mpbir2an 710 . 2 {𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅})
12 hashprlei 13822 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2)
1312simpri 489 . 2 (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2
14 fveq2 6652 . . . 4 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑋, 𝑌}))
1514breq1d 5052 . . 3 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
1615elrab 3655 . 2 ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
1711, 13, 16mpbir2an 710 1 {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  {crab 3134  cdif 3905  wss 3908  c0 4265  𝒫 cpw 4511  {csn 4539  {cpr 4541   class class class wbr 5042  cfv 6334  Fincfn 8496  cle 10665  2c2 11680  chash 13686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator