MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgrbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgrbi 28998
Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgrbi.x 𝑋𝑉
upgrbi.y 𝑌𝑉
Assertion
Ref Expression
upgrbi {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem upgrbi
StepHypRef Expression
1 upgrbi.x . . . . 5 𝑋𝑉
2 upgrbi.y . . . . 5 𝑌𝑉
3 prssi 4826 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
41, 2, 3mp2an 690 . . . 4 {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5 prex 5434 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} ∈ V
65elpw 4608 . . . 4 ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
74, 6mpbir 230 . . 3 {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
81elexi 3482 . . . 4 𝑋 ∈ V
98prnz 4783 . . 3 {𝑋, 𝑌} ≠ ∅
10 eldifsn 4792 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅))
117, 9, 10mpbir2an 709 . 2 {𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅})
12 hashprlei 14473 . . 3 ({𝑋, 𝑌} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2)
1312simpri 484 . 2 (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2
14 fveq2 6896 . . . 4 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑋, 𝑌}))
1514breq1d 5159 . . 3 (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
1615elrab 3679 . 2 ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
1711, 13, 16mpbir2an 709 1 {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  {crab 3418  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  𝒫 cpw 4604  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5149  cfv 6549  Fincfn 8964  cle 11286  2c2 12305  chash 14333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-hash 14334
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator