Theorem upgrbi 29092

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a pseudograph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
upgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉

Assertion

Ref	Expression
upgrbi	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem upgrbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgrbi.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		upgrbi.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 4774	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prex 5379	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
6	5	elpw 4555	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
7	4, 6	mpbir 231	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
8	1	elexi 3460	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
9	8	prnz 4731	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅
10		eldifsn 4739	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅))
11	7, 9, 10	mpbir2an 711	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅})
12		hashprlei 14382	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2)
13	12	simpri 485	. 2 ⊢ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2
14		fveq2 6831	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → (♯‘𝑥) = (♯‘{𝑋, 𝑌}))
15	14	breq1d 5105	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑥) ≤ 2 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
16	15	elrab 3643	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) ≤ 2))
17	11, 13, 16	mpbir2an 711	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {crab 3396   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  Fincfn 8879   ≤ cle 11158  2c2 12191  ♯chash 14244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-hash 14245

This theorem is referenced by: (None)