Theorem usgrsizedg 26996

Description: In a simple graph, the size of the edge function is the number of the edges of the graph. (Contributed by AV, 4-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgrsizedg	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘(Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem usgrsizedg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6682	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
2	1	dmex 7615	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	usgrf 26939	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		hashf1rn 13712	. . 3 ⊢ ((dom (iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
7	2, 5, 6	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
8		edgval 26833	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
10	9	fveq2d 6673	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(Edg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
11	7, 10	eqtr4d 2859	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘(Edg‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932  ∅c0 4290  𝒫 cpw 4538  {csn 4566  dom cdm 5554  ran crn 5555  –1-1→wf1 6351  ‘cfv 6354  2c2 11691  ♯chash 13689  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  Edgcedg 26831  USGraphcusgr 26933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-hash 13690  df-edg 26832  df-usgr 26935

This theorem is referenced by: (None)