Theorem usgrsizedg 29574

Description: In a simple graph, the size of the edge function is the number of the edges of the graph. (Contributed by AV, 4-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
usgrsizedg	⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘(Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem usgrsizedg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
2	1	dmex 7902	. . 3 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
5	3, 4	usgrf 29514	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
6		hashf1rn 14393	. . 3 ⊢ ((dom (iEdg‘𝐺) ∈ V ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) = 2}) → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
7	2, 5, 6	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
8		edgval 29408	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
10	9	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(Edg‘𝐺)) = (♯‘ran (iEdg‘𝐺)))
11	7, 10	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (♯‘(iEdg‘𝐺)) = (♯‘(Edg‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  dom cdm 5661  ran crn 5662  –1-1→wf1 6533  ‘cfv 6536  2c2 12299  ♯chash 14371  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  Edgcedg 29406  USGraphcusgr 29508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-hash 14372  df-edg 29407  df-usgr 29510

This theorem is used by: (None)