Theorem usgredg3 27486

Description: The value of the "edge function" of a simple graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredg3	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem usgredg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfun 27431	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
2		usgredg3.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	funeqi 6439	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐸 ↔ Fun (iEdg‘𝐺))
4	1, 3	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun 𝐸)
5		fvelrn 6936	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝐸)
6	4, 5	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝐸)
7		edgval 27322	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
9	2	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
10	9	rneqi 5835	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
11	8, 10	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
13	6, 12	eleqtrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Edg‘𝐺))
14		usgredg3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
16	14, 15	usgredg 27469	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))
17	13, 16	syldan 590	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  {cpr 4560  dom cdm 5580  ran crn 5581  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  USGraphcusgr 27422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-hash 13973  df-edg 27321  df-umgr 27356  df-usgr 27424

This theorem is referenced by:  usgredg4  27487