MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredg3 28908
Description: The value of the "edge function" of a simple graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredg3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦 ∧ (𝐸𝑋) = {𝑥, 𝑦}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem usgredg3
StepHypRef Expression
1 usgrfun 28853 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
2 usgredg3.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
32funeqi 6559 . . . . 5 (Fun 𝐸 ↔ Fun (iEdg‘𝐺))
41, 3sylibr 233 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → Fun 𝐸)
5 fvelrn 7068 . . . 4 ((Fun 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝐸)
64, 5sylan 579 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ∈ ran 𝐸)
7 edgval 28744 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
87a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
92eqcomi 2733 . . . . . 6 (iEdg‘𝐺) = 𝐸
109rneqi 5926 . . . . 5 ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
118, 10eqtrdi 2780 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
1211adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
136, 12eleqtrrd 2828 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ∈ (Edg‘𝐺))
14 usgredg3.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15 eqid 2724 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1614, 15usgredg 28891 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦 ∧ (𝐸𝑋) = {𝑥, 𝑦}))
1713, 16syldan 590 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑦 ∧ (𝐸𝑋) = {𝑥, 𝑦}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  {cpr 4622  dom cdm 5666  ran crn 5667  Fun wfun 6527  cfv 6533  Vtxcvtx 28691  iEdgciedg 28692  Edgcedg 28742  USGraphcusgr 28844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-edg 28743  df-umgr 28778  df-usgr 28846
This theorem is referenced by:  usgredg4  28909
  Copyright terms: Public domain W3C validator