Theorem usgredg3 29509

Description: The value of the "edge function" of a simple graph is a set containing two elements (the endvertices of the corresponding edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg3.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgredg3.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredg3	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem usgredg3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrfun 29451	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
2		usgredg3.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	funeqi 6560	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐸 ↔ Fun (iEdg‘𝐺))
4	1, 3	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → Fun 𝐸)
5		fvelrn 7074	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝐸)
6	4, 5	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ ran 𝐸)
7		edgval 29342	. . . . . 6 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
9	2	eqcomi 2778	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = 𝐸
10	9	rneqi 5930	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘𝐺) = ran 𝐸
11	8, 10	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
12	11	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (Edg‘𝐺) = ran 𝐸)
13	6, 12	eleqtrrd 2872	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ∈ (Edg‘𝐺))
14		usgredg3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
15		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
16	14, 15	usgredg 29492	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸‘𝑋) ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))
17	13, 16	syldan 602	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ∃𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ (𝐸‘𝑋) = {𝑥, 𝑦}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {cpr 4596  dom cdm 5664  ran crn 5665  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  Vtxcvtx 29289  iEdgciedg 29290  Edgcedg 29340  USGraphcusgr 29442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9889  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12865  df-fz 13538  df-hash 14369  df-edg 29341  df-umgr 29376  df-usgr 29444

This theorem is referenced by:  usgredg4  29510