Theorem umgr2edgneu 27689

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 27687. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgrvad2edg 27688	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
3		3simpc 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
4		neneq 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	3, 5	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanali 3102	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	rexbii 3094	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnal 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	sylib 217	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 489	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16		eleq2w 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ 𝑦))
17	16	reu4 3675	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	15, 17	sylnibr 328	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3348  {cpr 4571  ‘cfv 6463  Edgcedg 27525  UMGraphcumgr 27559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-oadd 8346  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-dju 9727  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-hash 14115  df-edg 27526  df-umgr 27561

This theorem is referenced by: (None)