Theorem umgr2edgneu 29249

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 29247. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgrvad2edg 29248	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
3		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
4		neneq 2952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	3, 5	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 3090	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanali 3108	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	rexbii 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnal 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 488	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16		eleq2w 2828	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ 𝑦))
17	16	reu4 3753	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	15, 17	sylnibr 329	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∃!wreu 3386  {cpr 4650  ‘cfv 6573  Edgcedg 29082  UMGraphcumgr 29116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-umgr 29118

This theorem is referenced by: (None)