Theorem umgr2edgneu 29297

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 29295. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgrvad2edg 29296	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
3		3simpc 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
4		neneq 2939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	3, 5	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 3076	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanali 3092	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	rexbii 3085	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnal 3090	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 488	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16		eleq2w 2821	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ 𝑦))
17	16	reu4 3678	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	15, 17	sylnibr 329	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341  {cpr 4570  ‘cfv 6492  Edgcedg 29130  UMGraphcumgr 29164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284  df-edg 29131  df-umgr 29166

This theorem is referenced by: (None)