Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edgneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edgneu 27048
 Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 27046. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
umgr2edgneu (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrvad2edg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21umgrvad2edg 27047 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦))
3 3simpc 1147 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
4 neneq 2993 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
543ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
63, 5jca 515 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
76reximi 3207 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
87reximi 3207 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
92, 8syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10 rexanali 3225 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1110rexbii 3211 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12 rexnal 3201 . . . . 5 (∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1311, 12bitri 278 . . . 4 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
149, 13sylib 221 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1514intnand 492 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16 eleq2w 2873 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
1716reu4 3672 . 2 (∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥 ↔ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1815, 17sylnibr 332 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∃!wreu 3108  {cpr 4530  ‘cfv 6332  Edgcedg 26884  UMGraphcumgr 26918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-2 11706  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-hash 13707  df-edg 26885  df-umgr 26920 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator