Theorem umgr2edgneu 29190

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 29188. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgrvad2edg 29189	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
3		3simpc 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
4		neneq 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	3, 5	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 3070	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 3070	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	2, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanali 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	rexbii 3079	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnal 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	sylib 218	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 488	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16		eleq2w 2815	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ 𝑦))
17	16	reu4 3690	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	15, 17	sylnibr 329	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  ∃!wreu 3344  {cpr 4578  ‘cfv 6481  Edgcedg 29023  UMGraphcumgr 29057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-hash 14235  df-edg 29024  df-umgr 29059

This theorem is referenced by: (None)