MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edgneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edgneu 29001
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 28999. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgrvad2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edgneu (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrvad2edg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21umgrvad2edg 29000 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦))
3 3simpc 1148 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
4 neneq 2941 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
543ad2ant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
63, 5jca 511 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
76reximi 3079 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
87reximi 3079 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
92, 8syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10 rexanali 3097 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1110rexbii 3089 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12 rexnal 3095 . . . . 5 (∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1311, 12bitri 275 . . . 4 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
149, 13sylib 217 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1514intnand 488 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16 eleq2w 2812 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
1716reu4 3724 . 2 (∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥 ↔ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1815, 17sylnibr 329 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  wrex 3065  ∃!wreu 3369  {cpr 4626  cfv 6542  Edgcedg 28834  UMGraphcumgr 28868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-umgr 28870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator