MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgr2edgneu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgr2edgneu 29246
Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 29244. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgrvad2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgr2edgneu (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 umgrvad2edg.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
21umgrvad2edg 29245 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦))
3 3simpc 1149 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
4 neneq 2944 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
543ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
63, 5jca 511 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
76reximi 3082 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
87reximi 3082 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 (𝑥𝑦𝑁𝑥𝑁𝑦) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
92, 8syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10 rexanali 3100 . . . . . 6 (∃𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1110rexbii 3092 . . . . 5 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12 rexnal 3098 . . . . 5 (∃𝑥𝐸 ¬ ∀𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1311, 12bitri 275 . . . 4 (∃𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) ↔ ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
149, 13sylib 218 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
1514intnand 488 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16 eleq2w 2823 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (𝑁𝑥𝑁𝑦))
1716reu4 3740 . 2 (∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥 ↔ (∃𝑥𝐸 𝑁𝑥 ∧ ∀𝑥𝐸𝑦𝐸 ((𝑁𝑥𝑁𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
1815, 17sylnibr 329 1 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥𝐸 𝑁𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  {cpr 4633  cfv 6563  Edgcedg 29079  UMGraphcumgr 29113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-umgr 29115
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator