Theorem uvtxnbvtxm1 29987

Description: A universal vertex has 𝑛 − 1 neighbors in a finite simple graph with 𝑛 vertices. A biconditional version of nbusgrvtxm1uvtx 29986 resp. uvtxnm1nbgr 29985. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvtxnm1nbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
uvtxnbvtxm1	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)))

Proof of Theorem uvtxnbvtxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnm1nbgr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	uvtxnm1nbgr 29985	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1))
3	2	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) → (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)))
5	1	nbusgrvtxm1uvtx 29986	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
6	4, 5	impbid 215	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   − cmin 11541  ♯chash 14474  Vtxcvtx 29574  FinUSGraphcfusgr 29897   NeighbVtx cnbgr 29913  UnivVtxcuvtx 29966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475  df-fusgr 29898  df-nbgr 29914  df-uvtx 29967

This theorem is used by:  usgruvtxvdb  30110