Theorem nbusgrvtxm1uvtx 29389

Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, the vertex is universal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvtxnm1nbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgrvtxm1uvtx	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1uvtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnm1nbgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	nbgrssovtx 29345	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
3	2	sseli 3959	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}))
4		eldifsn 4767	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈))
5	1	nbusgrvtxm1 29363	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
7	4, 6	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
8	3, 7	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈})))
9	8	eqrdv 2734	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈}))
10	1	uvtxnbgrb 29385	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
11	10	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
12	9, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
13	12	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1c1 11135   − cmin 11471  ♯chash 14353  Vtxcvtx 28980  FinUSGraphcfusgr 29300   NeighbVtx cnbgr 29316  UnivVtxcuvtx 29369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-hash 14354  df-fusgr 29301  df-nbgr 29317  df-uvtx 29370

This theorem is referenced by:  uvtxnbvtxm1  29390