Theorem nbusgrvtxm1uvtx 29131

Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, the vertex is universal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvtxnm1nbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgrvtxm1uvtx	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1uvtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnm1nbgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	nbgrssovtx 29087	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
3	2	sseli 3970	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}))
4		eldifsn 4782	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈))
5	1	nbusgrvtxm1 29105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
7	4, 6	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
8	3, 7	impbid2 225	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈})))
9	8	eqrdv 2722	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈}))
10	1	uvtxnbgrb 29127	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
11	10	ad2antlr 724	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
12	9, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
13	12	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  {csn 4620  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  1c1 11107   − cmin 11441  ♯chash 14287  Vtxcvtx 28725  FinUSGraphcfusgr 29042   NeighbVtx cnbgr 29058  UnivVtxcuvtx 29111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-hash 14288  df-fusgr 29043  df-nbgr 29059  df-uvtx 29112

This theorem is referenced by:  uvtxnbvtxm1  29132