MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrvtxm1uvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrvtxm1uvtx 26654
Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, the vertex is universal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
uvtxnm1nbgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbusgrvtxm1uvtx ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1uvtx
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxnm1nbgr.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21nbgrssovtx 26599 . . . . . 6 (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
32sseli 3794 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}))
4 eldifsn 4506 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑣𝑉𝑣𝑈))
51nbusgrvtxm1 26623 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑣𝑉𝑣𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
65imp 396 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((𝑣𝑉𝑣𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
74, 6syl5bi 234 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
83, 7impbid2 218 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈})))
98eqrdv 2797 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈}))
101uvtxnbgrb 26650 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
1110ad2antlr 719 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
129, 11mpbird 249 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
1312ex 402 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cdif 3766  {csn 4368  cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225  cmin 10556  chash 13370  Vtxcvtx 26231  FinUSGraphcfusgr 26550   NeighbVtx cnbgr 26566  UnivVtxcuvtx 26629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-hash 13371  df-fusgr 26551  df-nbgr 26567  df-uvtx 26630
This theorem is referenced by:  uvtxnbvtxm1  26655
  Copyright terms: Public domain W3C validator