Theorem nbusgrvtxm1uvtx 29474

Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, the vertex is universal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
uvtxnm1nbgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nbusgrvtxm1uvtx	⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1uvtx

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvtxnm1nbgr.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	nbgrssovtx 29430	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
3	2	sseli 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}))
4		eldifsn 4731	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈))
5	1	nbusgrvtxm1 29448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
6	5	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑣 ≠ 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
7	4, 6	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
8	3, 7	impbid2 226	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈})))
9	8	eqrdv 2734	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈}))
10	1	uvtxnbgrb 29470	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
11	10	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
12	9, 11	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
13	12	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  1c1 11039   − cmin 11377  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  FinUSGraphcfusgr 29385   NeighbVtx cnbgr 29401  UnivVtxcuvtx 29454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-hash 14293  df-fusgr 29386  df-nbgr 29402  df-uvtx 29455

This theorem is referenced by:  uvtxnbvtxm1  29475