MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbusgrvtxm1uvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbusgrvtxm1uvtx 28642
Description: If the number of neighbors of a vertex in a finite simple graph is the number of vertices of the graph minus 1, the vertex is universal. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.) (Revised by AV, 16-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
uvtxnm1nbgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbusgrvtxm1uvtx ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))

Proof of Theorem nbusgrvtxm1uvtx
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvtxnm1nbgr.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21nbgrssovtx 28598 . . . . . 6 (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑈})
32sseli 3977 . . . . 5 (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) → 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}))
4 eldifsn 4789 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) ↔ (𝑣𝑉𝑣𝑈))
51nbusgrvtxm1 28616 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → ((𝑣𝑉𝑣𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))))
65imp 408 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → ((𝑣𝑉𝑣𝑈) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
74, 6biimtrid 241 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈}) → 𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)))
83, 7impbid2 225 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑣 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ↔ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑈})))
98eqrdv 2731 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈}))
101uvtxnbgrb 28638 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
1110ad2antlr 726 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → (𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺) ↔ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) = (𝑉 ∖ {𝑈})))
129, 11mpbird 257 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1)) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺))
1312ex 414 1 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) = ((♯‘𝑉) − 1) → 𝑈 ∈ (UnivVtx‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3944  {csn 4627  cfv 6540  (class class class)co 7404  1c1 11107  cmin 11440  chash 14286  Vtxcvtx 28236  FinUSGraphcfusgr 28553   NeighbVtx cnbgr 28569  UnivVtxcuvtx 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-fusgr 28554  df-nbgr 28570  df-uvtx 28623
This theorem is referenced by:  uvtxnbvtxm1  28643
  Copyright terms: Public domain W3C validator