Theorem vtxdlfuhgr1v 29568

Description: The degree of the vertex in a loop-free hypergraph with one vertex is 0. (Contributed by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfuhgr1v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		simpr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		vtxdlfuhgr1v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfuhgr1v.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfuhgr1v.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6	3, 4, 5	lfuhgr1v0e 29343	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
7	6	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = ∅)
8		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
9	3, 8	vtxduhgr0e 29567	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (Edg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1380	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
11	10	ex 414	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  ∅c0 4263  𝒫 cpw 4531   class class class wbr 5074  dom cdm 5620  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  0cc0 11034  1c1 11035   ≤ cle 11176  2c2 12231  ♯chash 14287  Vtxcvtx 29085  iEdgciedg 29086  Edgcedg 29136  UHGraphcuhgr 29145  VtxDegcvtxdg 29554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-xadd 13059  df-fz 13457  df-hash 14288  df-edg 29137  df-uhgr 29147  df-vtxdg 29555

This theorem is referenced by:  vdumgr0  29569