Theorem vtxdlfuhgr1v 27724

Description: The degree of the vertex in a loop-free hypergraph with one vertex is 0. (Contributed by AV, 2-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfuhgr1v.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdlfuhgr1v	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfuhgr1v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		simpr 488	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ 𝑉)
3		vtxdlfuhgr1v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxdlfuhgr1v.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		vtxdlfuhgr1v.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
6	3, 4, 5	lfuhgr1v0e 27499	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (Edg‘𝐺) = ∅)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (Edg‘𝐺) = ∅)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
9	3, 8	vtxduhgr0e 27723	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (Edg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	1, 2, 7, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
11	10	ex 416	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟶𝐸) → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  {crab 3068  ∅c0 4254  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070  dom cdm 5579  ⟶wf 6411  ‘cfv 6415  0cc0 10777  1c1 10778   ≤ cle 10916  2c2 11933  ♯chash 13947  Vtxcvtx 27244  iEdgciedg 27245  Edgcedg 27295  UHGraphcuhgr 27304  VtxDegcvtxdg 27710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-oadd 8248  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-dju 9565  df-card 9603  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-nn 11879  df-2 11941  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-xadd 12753  df-fz 13144  df-hash 13948  df-edg 27296  df-uhgr 27306  df-vtxdg 27711

This theorem is referenced by:  vdumgr0  27725