MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdlfuhgr1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfuhgr1v 29004
Description: The degree of the vertex in a loop-free hypergraph with one vertex is 0. (Contributed by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfuhgr1v.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdlfuhgr1v.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdlfuhgr1v.e 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
Assertion
Ref Expression
vtxdlfuhgr1v ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐼(π‘₯)

Proof of Theorem vtxdlfuhgr1v
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ UHGraph)
2 simpr 484 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
3 vtxdlfuhgr1v.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 vtxdlfuhgr1v.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
5 vtxdlfuhgr1v.e . . . . 5 𝐸 = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≀ (β™―β€˜π‘₯)}
63, 4, 5lfuhgr1v0e 28779 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
76adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…)
8 eqid 2731 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
93, 8vtxduhgr0e 29003 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (Edgβ€˜πΊ) = βˆ…) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0)
101, 2, 7, 9syl3anc 1370 . 2 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0)
1110ex 412 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (β™―β€˜π‘‰) = 1 ∧ 𝐼:dom 𝐼⟢𝐸) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  0cc0 11114  1c1 11115   ≀ cle 11254  2c2 12272  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Edgcedg 28575  UHGraphcuhgr 28584  VtxDegcvtxdg 28990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28576  df-uhgr 28586  df-vtxdg 28991
This theorem is referenced by:  vdumgr0  29005
  Copyright terms: Public domain W3C validator