Theorem vtxduhgr0e 29566

Description: The degree of a vertex in an empty hypergraph is zero, because there are no edges. Analogue of vtxdg0e 29562. (Contributed by AV, 15-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxduhgr0e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxduhgr0e.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgr0e	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxduhgr0e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2	1	uhgrfun 29154	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → Fun (iEdg‘𝐺))
3		vtxduhgr0e.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4	1, 3	edg0iedg0 29143	. . . . 5 ⊢ (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
7		vtxduhgr0e.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	7, 1	vtxdg0e 29562	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
9	8	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
10	9	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
11	6, 10	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐸 = ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
12	11	3impia 1123	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 = ∅) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4262  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  0cc0 11030  Vtxcvtx 29084  iEdgciedg 29085  Edgcedg 29135  UHGraphcuhgr 29144  VtxDegcvtxdg 29553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-xadd 13056  df-fz 13454  df-hash 14285  df-edg 29136  df-uhgr 29146  df-vtxdg 29554

This theorem is referenced by:  vtxdlfuhgr1v  29567