Theorem vdumgr0 29004

Description: A vertex in a multigraph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdumgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdumgr0	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem vdumgr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 28631	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = 1)
4		vdumgr0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	umgrislfupgr 28650	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
7	6	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
8	7	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9	2, 3, 8	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10		simp2 1135	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
12	4, 5, 11	vtxdlfuhgr1v 29003	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0))
13	9, 10, 12	sylc 65	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  0cc0 11112  1c1 11113   ≤ cle 11253  2c2 12271  ♯chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  UHGraphcuhgr 28583  UPGraphcupgr 28607  UMGraphcumgr 28608  VtxDegcvtxdg 28989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-hash 14295  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-upgr 28609  df-umgr 28610  df-vtxdg 28990

This theorem is referenced by: (None)