Theorem vdumgr0 30118

Description: A vertex in a multigraph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdumgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdumgr0	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem vdumgr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29739	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = 1)
4		vdumgr0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	umgrislfupgr 29758	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
7	6	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
8	7	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9	2, 3, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
12	4, 5, 11	vtxdlfuhgr1v 30117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0))
13	9, 10, 12	sylc 66	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  0cc0 11239  1c1 11240   ≤ cle 11383  2c2 12437  ♯chash 14515  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  UHGraphcuhgr 29691  UPGraphcupgr 29715  UMGraphcumgr 29716  VtxDegcvtxdg 30103

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-xadd 13282  df-fz 13680  df-hash 14516  df-edg 29683  df-uhgr 29693  df-upgr 29717  df-umgr 29718  df-vtxdg 30104

This theorem is used by: (None)