Theorem vdumgr0 29366

Description: A vertex in a multigraph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdumgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdumgr0	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem vdumgr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 28989	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = 1)
4		vdumgr0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	umgrislfupgr 29008	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
7	6	simprbi 495	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
8	7	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9	2, 3, 8	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11		eqid 2725	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
12	4, 5, 11	vtxdlfuhgr1v 29365	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0))
13	9, 10, 12	sylc 65	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  0cc0 11140  1c1 11141   ≤ cle 11281  2c2 12300  ♯chash 14325  Vtxcvtx 28881  iEdgciedg 28882  UHGraphcuhgr 28941  UPGraphcupgr 28965  UMGraphcumgr 28966  VtxDegcvtxdg 29351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-xadd 13128  df-fz 13520  df-hash 14326  df-edg 28933  df-uhgr 28943  df-upgr 28967  df-umgr 28968  df-vtxdg 29352

This theorem is referenced by: (None)