Theorem vdumgr0 29638

Description: A vertex in a multigraph has degree 0 if the graph consists of only one vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdumgr0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdumgr0	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Proof of Theorem vdumgr0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29262	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2	1	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝐺 ∈ UHGraph)
3		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (♯‘𝑉) = 1)
4		vdumgr0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6	4, 5	umgrislfupgr 29281	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph ↔ (𝐺 ∈ UPGraph ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
7	6	simprbi 501	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
8	7	3ad2ant1 1145	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)})
9	2, 3, 8	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}))
10		simp2 1149	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → 𝑁 ∈ 𝑉)
11		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}
12	4, 5, 11	vtxdlfuhgr1v 29637	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (♯‘𝑉) = 1 ∧ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)}) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0))
13	9, 10, 12	sylc 65	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ (♯‘𝑉) = 1) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  𝒫 cpw 4552   class class class wbr 5097  dom cdm 5643  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  0cc0 11067  1c1 11068   ≤ cle 11211  2c2 12266  ♯chash 14337  Vtxcvtx 29154  iEdgciedg 29155  UHGraphcuhgr 29214  UPGraphcupgr 29238  UMGraphcumgr 29239  VtxDegcvtxdg 29623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9853  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12834  df-xadd 13109  df-fz 13507  df-hash 14338  df-edg 29206  df-uhgr 29216  df-upgr 29240  df-umgr 29241  df-vtxdg 29624

This theorem is referenced by: (None)