Theorem vtxdumgr0nedg 29780

Description: If a vertex in a multigraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 15-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdumgr0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxdumgr0nedg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 29391	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		vtxdushgrfvedg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
5	2, 3, 4	vtxduhgr0nedg 29779	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
6	1, 5	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  {cpr 4593  ‘cfv 6534  0cc0 11096  Vtxcvtx 29283  Edgcedg 29334  UHGraphcuhgr 29343  UMGraphcumgr 29368  VtxDegcvtxdg 29752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-xadd 13134  df-fz 13532  df-hash 14363  df-edg 29335  df-uhgr 29345  df-upgr 29369  df-umgr 29370  df-vtxdg 29753

This theorem is referenced by: (None)