MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgr0nedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxduhgr0nedg 28148
Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgr0nedg ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2736 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3vtxd0nedgb 28144 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
54adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
6 vtxdushgrfvedg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
76eleq2i 2828 . . . . . . . 8 ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
82uhgredgiedgb 27785 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
97, 8bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
11 prid1g 4708 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣})
12 eleq2 2825 . . . . . . . . 9 ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣} ↔ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1311, 12syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1514reximdv 3163 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1610, 15sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1716rexlimdvw 3153 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1817con3d 152 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
195, 18sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
20193impia 1116 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3070  {cpr 4575  dom cdm 5620  β€˜cfv 6479  0cc0 10972  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  Edgcedg 27706  UHGraphcuhgr 27715  VtxDegcvtxdg 28121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-xadd 12950  df-fz 13341  df-hash 14146  df-edg 27707  df-uhgr 27717  df-vtxdg 28122
This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  28149
  Copyright terms: Public domain W3C validator