MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgr0nedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxduhgr0nedg 29345
Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgr0nedg ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)
Proof of Theorem vtxduhgr0nedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2725 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3vtxd0nedgb 29341 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
54adantl 480 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
6 vtxdushgrfvedg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
76eleq2i 2817 . . . . . . . 8 ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
82uhgredgiedgb 28978 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
97, 8bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
109adantr 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
11 prid1g 4761 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣})
12 eleq2 2814 . . . . . . . . 9 ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣} ↔ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1311, 12syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1413adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1514reximdv 3160 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1610, 15sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1716rexlimdvw 3150 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1817con3d 152 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
195, 18sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
20193impia 1114 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060  {cpr 4627  dom cdm 5673  β€˜cfv 6543  0cc0 11133  Vtxcvtx 28848  iEdgciedg 28849  Edgcedg 28899  UHGraphcuhgr 28908  VtxDegcvtxdg 29318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-xadd 13120  df-fz 13512  df-hash 14317  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-vtxdg 29319
This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29346
  Copyright terms: Public domain W3C validator