Theorem vtxduhgr0nedg 29578

Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgr0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxd0nedgb 29574	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6		vtxdushgrfvedg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
8	2	uhgredgiedgb 29211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11		prid1g 4719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12		eleq2 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
13	11, 12	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
15	14	reximdv 3153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
16	10, 15	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
17	16	rexlimdvw 3144	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
18	17	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
19	5, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20	19	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {cpr 4584  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  0cc0 11038  Vtxcvtx 29081  iEdgciedg 29082  Edgcedg 29132  UHGraphcuhgr 29141  VtxDegcvtxdg 29551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-xadd 13039  df-fz 13436  df-hash 14266  df-edg 29133  df-uhgr 29143  df-vtxdg 29552

This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29579