MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgr0nedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxduhgr0nedg 27277
Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgr0nedg ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉 ∧ (𝐷𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2824 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxd0nedgb 27273 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
54adantl 484 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6 vtxdushgrfvedg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
76eleq2i 2907 . . . . . . . 8 ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
82uhgredgiedgb 26914 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
97, 8syl5bb 285 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
109adantr 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11 prid1g 4699 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12 eleq2 2904 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1311, 12syl5ibcom 247 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1413adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1514reximdv 3276 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1610, 15sylbid 242 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1716rexlimdvw 3293 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1817con3d 155 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
195, 18sylbid 242 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20193impia 1113 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉 ∧ (𝐷𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wrex 3142  {cpr 4572  dom cdm 5558  cfv 6358  0cc0 10540  Vtxcvtx 26784  iEdgciedg 26785  Edgcedg 26835  UHGraphcuhgr 26844  VtxDegcvtxdg 27250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-xadd 12511  df-fz 12896  df-hash 13694  df-edg 26836  df-uhgr 26846  df-vtxdg 27251
This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  27278
  Copyright terms: Public domain W3C validator