Theorem vtxduhgr0nedg 29473

Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgr0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxd0nedgb 29469	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6		vtxdushgrfvedg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
8	2	uhgredgiedgb 29106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11		prid1g 4720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
13	11, 12	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
15	14	reximdv 3148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
16	10, 15	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
17	16	rexlimdvw 3139	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
18	17	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
19	5, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20	19	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4587  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  0cc0 11044  Vtxcvtx 28976  iEdgciedg 28977  Edgcedg 29027  UHGraphcuhgr 29036  VtxDegcvtxdg 29446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-xadd 13049  df-fz 13445  df-hash 14272  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-vtxdg 29447

This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29474