Theorem vtxduhgr0nedg 29566

Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgr0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxd0nedgb 29562	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6		vtxdushgrfvedg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
8	2	uhgredgiedgb 29199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11		prid1g 4717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12		eleq2 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
13	11, 12	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
15	14	reximdv 3151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
16	10, 15	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
17	16	rexlimdvw 3142	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
18	17	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
19	5, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20	19	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {cpr 4582  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  0cc0 11026  Vtxcvtx 29069  iEdgciedg 29070  Edgcedg 29120  UHGraphcuhgr 29129  VtxDegcvtxdg 29539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-xadd 13027  df-fz 13424  df-hash 14254  df-edg 29121  df-uhgr 29131  df-vtxdg 29540

This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29567