MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgr0nedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxduhgr0nedg 29293
Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgr0nedg ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,π‘ˆ   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)
Proof of Theorem vtxduhgr0nedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2727 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3vtxd0nedgb 29289 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
54adantl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
6 vtxdushgrfvedg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
76eleq2i 2820 . . . . . . . 8 ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
82uhgredgiedgb 28926 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
97, 8bitrid 283 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
11 prid1g 4760 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣})
12 eleq2 2817 . . . . . . . . 9 ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ (π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑣} ↔ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1311, 12syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1514reximdv 3165 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ){π‘ˆ, 𝑣} = ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1610, 15sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ({π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1716rexlimdvw 3155 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)))
1817con3d 152 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
195, 18sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸))
20193impia 1115 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (π·β€˜π‘ˆ) = 0) β†’ Β¬ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 {π‘ˆ, 𝑣} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {cpr 4626  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  0cc0 11130  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  Edgcedg 28847  UHGraphcuhgr 28856  VtxDegcvtxdg 29266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-hash 14314  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-vtxdg 29267
This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29294
  Copyright terms: Public domain W3C validator