MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxduhgr0nedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxduhgr0nedg 28326
Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxduhgr0nedg ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉 ∧ (𝐷𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2736 . . . . 5 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdushgrfvedg.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxd0nedgb 28322 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
54adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6 vtxdushgrfvedg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
76eleq2i 2829 . . . . . . . 8 ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
82uhgredgiedgb 27963 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
97, 8bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11 prid1g 4719 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1311, 12syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1514reximdv 3165 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1610, 15sylbid 239 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1716rexlimdvw 3155 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
1817con3d 152 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
195, 18sylbid 239 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((𝐷𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20193impia 1117 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈𝑉 ∧ (𝐷𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  {cpr 4586  dom cdm 5631  cfv 6493  0cc0 11047  Vtxcvtx 27833  iEdgciedg 27834  Edgcedg 27884  UHGraphcuhgr 27893  VtxDegcvtxdg 28299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-xadd 13026  df-fz 13417  df-hash 14223  df-edg 27885  df-uhgr 27895  df-vtxdg 28300
This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  28327
  Copyright terms: Public domain W3C validator