Theorem vtxduhgr0nedg 29420

Description: If a vertex in a hypergraph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.) (Revised by AV, 15-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxduhgr0nedg	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑣)   𝐸(𝑣)

Proof of Theorem vtxduhgr0nedg

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdushgrfvedg.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	vtxd0nedgb 29416	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
6		vtxdushgrfvedg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
7	6	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))
8	2	uhgredgiedgb 29053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
9	7, 8	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
11		prid1g 4724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
12		eleq2 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → (𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣} ↔ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
13	11, 12	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
15	14	reximdv 3148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺){𝑈, 𝑣} = ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
16	10, 15	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
17	16	rexlimdvw 3139	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
18	17	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
19	5, 18	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸))
20	19	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉 ∧ (𝐷‘𝑈) = 0) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {cpr 4591  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  0cc0 11068  Vtxcvtx 28923  iEdgciedg 28924  Edgcedg 28974  UHGraphcuhgr 28983  VtxDegcvtxdg 29393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-uz 12794  df-xadd 13073  df-fz 13469  df-hash 14296  df-edg 28975  df-uhgr 28985  df-vtxdg 29394

This theorem is referenced by:  vtxdumgr0nedg  29421