Theorem vtxdushgrfvedglem 29359

Description: Lemma for vtxdushgrfvedg 29360 and vtxdusgrfvedg 29361. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdushgrfvedglem	⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸,𝑖   𝑒,𝐺,𝑖   𝑈,𝑒,𝑖   𝑒,𝑉,𝑖

Proof of Theorem vtxdushgrfvedglem

Dummy variables 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6907	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
2	1	dmex 7915	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
3	2	rabex 5334	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ∈ V)
5		vtxdushgrfvedg.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6		eqid 2725	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
7		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		eqid 2725	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}
9		eleq2w 2809	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑈 ∈ 𝑒 ↔ 𝑈 ∈ 𝑐))
10	9	cbvrabv 3430	. . 3 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑐}
11		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
12	5, 6, 7, 8, 10, 11	ushgredgedg 29098	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒})
13	4, 12	hasheqf1od 14344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5677  ‘cfv 6547  ♯chash 14321  Vtxcvtx 28865  iEdgciedg 28866  Edgcedg 28916  USHGraphcushgr 28926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-hash 14322  df-edg 28917  df-uhgr 28927  df-ushgr 28928

This theorem is referenced by:  vtxdushgrfvedg  29360  vtxdusgrfvedg  29361