Theorem hasheqf1od 14504

Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by AV, 4-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hasheqf1od.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
hasheqf1od.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hasheqf1od	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheqf1od

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hasheqf1od.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
2		hasheqf1od.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1of 6829	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5	4, 1	fexd 7237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
6		f1oeq1 6817	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵))
7	5, 2, 6	spcedv 3552	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)
8		hasheqf1oi 14502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
9	1, 7, 8	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  ♯chash 14481

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-hash 14482

This theorem is used by:  summolem2a  15890  prodmolem2a  16110  4sqlem11  17142  orbsta2  19537  sylow2a  19842  lsmhash  19928  gsumval3lem1  20128  gsumval3lem2  20129  gsumval3  20130  basellem5  27421  0sgmppw  27534  logfac2  27553  usgredgleordALT  29824  vtxdushgrfvedglem  30079  vtxdushgrfvedg  30080  clwlkssizeeq  30685  frgrncvvdeq  30919  numclwwlk2lem3  30990  subfacp1lem3  36037  subfacp1lem5  36039  sticksstones14  43319  grtriprop  49147