MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheqf1od Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheqf1od 13441
Description: The size of two sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by AV, 4-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
hasheqf1od.a (𝜑𝐴𝑈)
hasheqf1od.f (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1od (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem hasheqf1od
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1od.a . 2 (𝜑𝐴𝑈)
2 hasheqf1od.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
3 f1of 6382 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
5 fex 6750 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑈) → 𝐹 ∈ V)
64, 1, 5syl2anc 579 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
7 f1oeq1 6371 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
86, 2, 7elabd 3573 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
9 hasheqf1oi 13439 . 2 (𝐴𝑈 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵)))
101, 8, 9sylc 65 1 (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  Vcvv 3414  wf 6123  1-1-ontowf1o 6126  cfv 6127  chash 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-hash 13418
This theorem is referenced by:  usgredgleordALT  26538  vtxdushgrfvedglem  26794  vtxdushgrfvedg  26795  clwlkssizeeq  27454  clwlkssizeeqOLD  27455  clwlkssizeeqOLDOLD  27456  frgrncvvdeq  27686  numclwwlk2lem3  27782  numclwwlk2lem3OLD  27783  numclwwlk2lem3OLDOLD  27790
  Copyright terms: Public domain W3C validator