MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 28264
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6840 . . . 4 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 28244 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
72, 6eqtrid 2789 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
87eqeq1d 2739 . 2 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0))
94fvexi 6853 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
109dmex 7840 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1110rabex 5287 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V
12 hashxnn0 14192 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*
1410rabex 5287 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V
15 hashxnn0 14192 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
1713, 16pm3.2i 471 . . 3 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
18 xnn0xadd0 13120 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
1917, 18mp1i 13 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
20 hasheq0 14216 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅))
2111, 20ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅)
22 hasheq0 14216 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
2314, 22ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅)
2421, 23anbi12i 627 . . . 4 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
25 rabeq0 4342 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))
26 rabeq0 4342 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈})
2725, 26anbi12i 627 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
28 ralnex 3073 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
2928bicomi 223 . . . . . 6 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
30 ioran 982 . . . . . . 7 (¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3130ralbii 3094 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
32 r19.26 3112 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3329, 31, 323bitri 296 . . . . 5 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3433bicomi 223 . . . 4 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3524, 27, 343bitri 296 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
36 orcom 868 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
37 snidg 4618 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈})
38 eleq2 2826 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
3937, 38syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → ((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
40 pm4.72 948 . . . . . . 7 (((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4236, 41bitr4id 289 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4342rexbidv 3173 . . . 4 (𝑈𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4443notbid 317 . . 3 (𝑈𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4535, 44bitrid 282 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
468, 19, 453bitrd 304 1 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443  c0 4280  {csn 4584  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009  0*cxnn0 12443   +𝑒 cxad 12985  chash 14183  Vtxcvtx 27775  iEdgciedg 27776  VtxDegcvtxdg 28241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-uz 12722  df-xadd 12988  df-fz 13379  df-hash 14184  df-vtxdg 28242
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  28268  vtxduhgr0edgnel  28270  1loopgrvd0  28280  1hevtxdg0  28281
  Copyright terms: Public domain W3C validator