MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 28745
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   π‘ˆ,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
21fveq1i 6893 . . . 4 (π·β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
5 eqid 2733 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 28725 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
72, 6eqtrid 2785 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
87eqeq1d 2735 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0))
94fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
109dmex 7902 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1110rabex 5333 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V
12 hashxnn0 14299 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0*
1410rabex 5333 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V
15 hashxnn0 14299 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*
1713, 16pm3.2i 472 . . 3 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0* ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*)
18 xnn0xadd0 13226 . . 3 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0* ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*) β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0)))
1917, 18mp1i 13 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0)))
20 hasheq0 14323 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ…))
2111, 20ax-mp 5 . . . . 5 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ…)
22 hasheq0 14323 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…))
2314, 22ax-mp 5 . . . . 5 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…)
2421, 23anbi12i 628 . . . 4 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…))
25 rabeq0 4385 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
26 rabeq0 4385 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ… ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ})
2725, 26anbi12i 628 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
28 ralnex 3073 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
2928bicomi 223 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
30 ioran 983 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3130ralbii 3094 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼(Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
32 r19.26 3112 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼(Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3329, 31, 323bitri 297 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3433bicomi 223 . . . 4 ((βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3524, 27, 343bitri 297 . . 3 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
36 orcom 869 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
37 snidg 4663 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ})
38 eleq2 2823 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ}))
3937, 38syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
40 pm4.72 949 . . . . . . 7 (((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) ↔ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))))
4236, 41bitr4id 290 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4342rexbidv 3179 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4443notbid 318 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4535, 44bitrid 283 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
468, 19, 453bitrd 305 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {csn 4629  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  β„•0*cxnn0 12544   +𝑒 cxad 13090  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  iEdgciedg 28257  VtxDegcvtxdg 28722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-xadd 13093  df-fz 13485  df-hash 14291  df-vtxdg 28723
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  28749  vtxduhgr0edgnel  28751  1loopgrvd0  28761  1hevtxdg0  28762
  Copyright terms: Public domain W3C validator