Theorem vtxd0nedgb 29434

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgb	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6823	. . . 4 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 29414	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
7	2, 6	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	eqeq1d 2731	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9	4	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
10	9	dmex 7842	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 ∈ V
11	10	rabex 5278	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V
12		hashxnn0 14246	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*
14	10	rabex 5278	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
15		hashxnn0 14246	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
17	13, 16	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
18		xnn0xadd0 13149	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
19	17, 18	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
20		hasheq0 14270	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅)
22		hasheq0 14270	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
23	14, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅)
24	21, 23	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
25		rabeq0 4339	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))
26		rabeq0 4339	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})
27	25, 26	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
28		ralnex 3055	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
29	28	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
30		ioran 985	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
31	30	ralbii 3075	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
32		r19.26 3089	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
33	29, 31, 32	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
34	33	bicomi 224	. . . 4 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
35	24, 27, 34	3bitri 297	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
36		orcom 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
37		snidg 4612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈})
38		eleq2 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
39	37, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
40		pm4.72 951	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
41	39, 40	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
42	36, 41	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
43	42	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
44	43	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
45	35, 44	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
46	8, 19, 45	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394  Vcvv 3436  ∅c0 4284  {csn 4577  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ℕ₀^*cxnn0 12457   +_𝑒 cxad 13012  ♯chash 14237  Vtxcvtx 28941  iEdgciedg 28942  VtxDegcvtxdg 29411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-xadd 13015  df-fz 13411  df-hash 14238  df-vtxdg 29412

This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  29438  vtxduhgr0edgnel  29440  1loopgrvd0  29450  1hevtxdg0  29451