MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 27576
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6718 . . . 4 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 27556 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
72, 6syl5eq 2790 . . 3 (𝑈𝑉 → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})))
87eqeq1d 2739 . 2 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0))
94fvexi 6731 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
109dmex 7689 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1110rabex 5225 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V
12 hashxnn0 13905 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0*
1410rabex 5225 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V
15 hashxnn0 13905 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
1713, 16pm3.2i 474 . . 3 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
18 xnn0xadd0 12837 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
1917, 18mp1i 13 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
20 hasheq0 13930 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅))
2111, 20ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅)
22 hasheq0 13930 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
2314, 22ax-mp 5 . . . . 5 ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅)
2421, 23anbi12i 630 . . . 4 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅))
25 rabeq0 4299 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))
26 rabeq0 4299 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈})
2725, 26anbi12i 630 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
28 ralnex 3158 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
2928bicomi 227 . . . . . 6 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
30 ioran 984 . . . . . . 7 (¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3130ralbii 3088 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
32 r19.26 3092 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3329, 31, 323bitri 300 . . . . 5 (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3433bicomi 227 . . . 4 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
3524, 27, 343bitri 300 . . 3 (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}))
36 orcom 870 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
37 snidg 4575 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈})
38 eleq2 2826 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
3937, 38syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 (𝑈𝑉 → ((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
40 pm4.72 950 . . . . . . 7 (((𝐼𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4139, 40sylib 221 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ↔ ((𝐼𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖))))
4236, 41bitr4id 293 . . . . 5 (𝑈𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4342rexbidv 3216 . . . 4 (𝑈𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4443notbid 321 . . 3 (𝑈𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼𝑖) ∨ (𝐼𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
4535, 44syl5bb 286 . 2 (𝑈𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼𝑈 ∈ (𝐼𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
468, 19, 453bitrd 308 1 (𝑈𝑉 → ((𝐷𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼𝑖)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  c0 4237  {csn 4541  dom cdm 5551  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  0*cxnn0 12162   +𝑒 cxad 12702  chash 13896  Vtxcvtx 27087  iEdgciedg 27088  VtxDegcvtxdg 27553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-xadd 12705  df-fz 13096  df-hash 13897  df-vtxdg 27554
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  27580  vtxduhgr0edgnel  27582  1loopgrvd0  27592  1hevtxdg0  27593
  Copyright terms: Public domain W3C validator