MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxd0nedgb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxd0nedgb 29012
Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxd0nedgb.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxd0nedgb.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxd0nedgb.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxd0nedgb (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   π‘ˆ,𝑖   𝑖,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb
StepHypRef Expression
1 vtxd0nedgb.d . . . . 5 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
21fveq1i 6891 . . . 4 (π·β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
3 vtxd0nedgb.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
4 vtxd0nedgb.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
5 eqid 2730 . . . . 5 dom 𝐼 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 28992 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
72, 6eqtrid 2782 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
87eqeq1d 2732 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0))
94fvexi 6904 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V
109dmex 7904 . . . . . 6 dom 𝐼 ∈ V
1110rabex 5331 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V
12 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0*)
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0*
1410rabex 5331 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V
15 hashxnn0 14303 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*)
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*
1713, 16pm3.2i 469 . . 3 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0* ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*)
18 xnn0xadd0 13230 . . 3 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) ∈ β„•0* ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) ∈ β„•0*) β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0)))
1917, 18mp1i 13 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = 0 ↔ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0)))
20 hasheq0 14327 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ…))
2111, 20ax-mp 5 . . . . 5 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ…)
22 hasheq0 14327 . . . . . 6 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…))
2314, 22ax-mp 5 . . . . 5 ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…)
2421, 23anbi12i 625 . . . 4 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…))
25 rabeq0 4383 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))
26 rabeq0 4383 . . . . 5 ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ… ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ})
2725, 26anbi12i 625 . . . 4 (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)} = βˆ… ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = βˆ…) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
28 ralnex 3070 . . . . . . 7 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
2928bicomi 223 . . . . . 6 (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
30 ioran 980 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3130ralbii 3091 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼(Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
32 r19.26 3109 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼(Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3329, 31, 323bitri 296 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ (βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3433bicomi 223 . . . 4 ((βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ dom 𝐼 Β¬ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
3524, 27, 343bitri 296 . . 3 (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}))
36 orcom 866 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
37 snidg 4661 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ})
38 eleq2 2820 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ}))
3937, 38syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
40 pm4.72 946 . . . . . . 7 (((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} β†’ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)) ↔ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ ((πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ} ∨ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–))))
4236, 41bitr4id 289 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4342rexbidv 3176 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4443notbid 317 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼(π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–) ∨ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4535, 44bitrid 282 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)}) = 0 ∧ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (πΌβ€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = 0) ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
468, 19, 453bitrd 304 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((π·β€˜π‘ˆ) = 0 ↔ Β¬ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 π‘ˆ ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  {csn 4627  dom cdm 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„•0*cxnn0 12548   +𝑒 cxad 13094  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  iEdgciedg 28524  VtxDegcvtxdg 28989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-xadd 13097  df-fz 13489  df-hash 14295  df-vtxdg 28990
This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  29016  vtxduhgr0edgnel  29018  1loopgrvd0  29028  1hevtxdg0  29029
  Copyright terms: Public domain W3C validator