Theorem vtxd0nedgb 29572

Description: A vertex has degree 0 iff there is no edge incident with the vertex. (Contributed by AV, 24-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxd0nedgb.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxd0nedgb.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxd0nedgb.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxd0nedgb	⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑈,𝑖   𝑖,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑖)

Proof of Theorem vtxd0nedgb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxd0nedgb.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3		vtxd0nedgb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		vtxd0nedgb.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
6	3, 4, 5	vtxdgval 29552	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
7	2, 6	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	eqeq1d 2739	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0))
9	4	fvexi 6848	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 ∈ V
10	9	dmex 7853	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐼 ∈ V
11	10	rabex 5276	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V
12		hashxnn0 14292	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0*
14	10	rabex 5276	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
15		hashxnn0 14292	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*
17	13, 16	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*)
18		xnn0xadd0 13190	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) ∈ ℕ0*) → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
19	17, 18	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}})) = 0 ↔ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0)))
20		hasheq0 14316	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅))
21	11, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅)
22		hasheq0 14316	. . . . . 6 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V → ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
23	14, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0 ↔ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅)
24	21, 23	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅))
25		rabeq0 4329	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))
26		rabeq0 4329	. . . . 5 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈})
27	25, 26	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ (({𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)} = ∅ ∧ {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}} = ∅) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
28		ralnex 3064	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
29	28	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
30		ioran 986	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
31	30	ralbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
32		r19.26 3098	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼(¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
33	29, 31, 32	3bitri 297	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
34	33	bicomi 224	. . . 4 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼 ¬ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
35	24, 27, 34	3bitri 297	. . 3 ⊢ (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}))
36		orcom 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
37		snidg 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈})
38		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈}))
39	37, 38	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
40		pm4.72 952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼‘𝑖) = {𝑈} → 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)) ↔ (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
41	39, 40	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ↔ ((𝐼‘𝑖) = {𝑈} ∨ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖))))
42	36, 41	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
43	42	rexbidv 3162	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
44	43	notbid 318	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼(𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖) ∨ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
45	35, 44	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (((♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)}) = 0 ∧ (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑖) = {𝑈}}) = 0) ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))
46	8, 19, 45	3bitrd 305	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((𝐷‘𝑈) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom 𝐼 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑖)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℕ₀^*cxnn0 12501   +_𝑒 cxad 13052  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  VtxDegcvtxdg 29549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-xadd 13055  df-fz 13453  df-hash 14284  df-vtxdg 29550

This theorem is referenced by:  vtxduhgr0nedg  29576  vtxduhgr0edgnel  29578  1loopgrvd0  29588  1hevtxdg0  29589