MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdushgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdushgrfvedg 27199
Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdushgrfvedg ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6664 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2818 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6 eqid 2818 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
74, 5, 6vtxdgval 27177 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
87adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
104, 9vtxdushgrfvedglem 27198 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
11 fvex 6676 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1211dmex 7605 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
1312rabex 5226 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15 eqid 2818 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16 eqeq1 2822 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
1716cbvrabv 3489 . . . . 5 {𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}} = {𝑐𝐸𝑐 = {𝑈}}
18 eqid 2818 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
199, 5, 15, 17, 18ushgredgedgloop 26940 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})
2014, 19hasheqf1od 13702 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}}))
2110, 20oveq12d 7163 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
223, 8, 213eqtrd 2857 1 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  {csn 4557  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145   +𝑒 cxad 12493  chash 13678  Vtxcvtx 26708  iEdgciedg 26709  Edgcedg 26759  USHGraphcushgr 26769  VtxDegcvtxdg 27174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-hash 13679  df-edg 26760  df-uhgr 26770  df-ushgr 26771  df-vtxdg 27175
This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  27212
  Copyright terms: Public domain W3C validator