MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdushgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vtxdushgrfvedg 29011
Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vtxdushgrfvedg ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}})))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   π‘ˆ,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)
Proof of Theorem vtxdushgrfvedg
Dummy variables 𝑐 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
21fveq1i 6893 . . 3 (π·β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ)
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ))
4 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2731 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
6 eqid 2731 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
74, 5, 6vtxdgval 28989 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
87adantl 481 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}})))
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
104, 9vtxdushgrfvedglem 29010 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)}) = (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}))
11 fvex 6905 . . . . . . 7 (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
1211dmex 7905 . . . . . 6 dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
1312rabex 5333 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ∈ V)
15 eqid 2731 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} = {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}}
16 eqeq1 2735 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 β†’ (𝑒 = {π‘ˆ} ↔ 𝑐 = {π‘ˆ}))
1716cbvrabv 3441 . . . . 5 {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑐 = {π‘ˆ}}
18 eqid 2731 . . . . 5 (π‘₯ ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ↦ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ↦ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
199, 5, 15, 17, 18ushgredgedgloop 28752 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}} ↦ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)):{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}}–1-1-ontoβ†’{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}})
2014, 19hasheqf1od 14318 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}}) = (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}}))
2110, 20oveq12d 7430 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ π‘ˆ ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–)}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {π‘ˆ}})) = ((β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}})))
223, 8, 213eqtrd 2775 1 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (π·β€˜π‘ˆ) = ((β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ π‘ˆ ∈ 𝑒}) +𝑒 (β™―β€˜{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {π‘ˆ}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   +𝑒 cxad 13095  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Edgcedg 28571  USHGraphcushgr 28581  VtxDegcvtxdg 28986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-hash 14296  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-ushgr 28583  df-vtxdg 28987
This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  29024
  Copyright terms: Public domain W3C validator