Theorem vtxdushgrfvedg 29454

Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg	⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6827	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
7	4, 5, 6	vtxdgval 29432	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	4, 9	vtxdushgrfvedglem 29453	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
11		fvex 6839	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	11	dmex 7849	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
13	12	rabex 5281	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
17	16	cbvrabv 3407	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑐 = {𝑈}}
18		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
19	9, 5, 15, 17, 18	ushgredgedgloop 29194	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})
20	14, 19	hasheqf1od 14278	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}}))
21	10, 20	oveq12d 7371	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))
22	3, 8, 21	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438  {csn 4579   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   +_𝑒 cxad 13030  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  Edgcedg 29010  USHGraphcushgr 29020  VtxDegcvtxdg 29429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-hash 14256  df-edg 29011  df-uhgr 29021  df-ushgr 29022  df-vtxdg 29430

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  29467