Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdushgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdushgrfvedg 27379
 Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdushgrfvedg ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6659 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2758 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6 eqid 2758 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
74, 5, 6vtxdgval 27357 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
87adantl 485 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
104, 9vtxdushgrfvedglem 27378 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
11 fvex 6671 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1211dmex 7621 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
1312rabex 5202 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15 eqid 2758 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16 eqeq1 2762 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
1716cbvrabv 3404 . . . . 5 {𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}} = {𝑐𝐸𝑐 = {𝑈}}
18 eqid 2758 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
199, 5, 15, 17, 18ushgredgedgloop 27120 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})
2014, 19hasheqf1od 13764 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}}))
2110, 20oveq12d 7168 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
223, 8, 213eqtrd 2797 1 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409  {csn 4522   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   +𝑒 cxad 12546  ♯chash 13740  Vtxcvtx 26888  iEdgciedg 26889  Edgcedg 26939  USHGraphcushgr 26949  VtxDegcvtxdg 27354 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-hash 13741  df-edg 26940  df-uhgr 26950  df-ushgr 26951  df-vtxdg 27355 This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  27392
 Copyright terms: Public domain W3C validator