MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdushgrfvedg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdushgrfvedg 26621
Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdushgrfvedg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdushgrfvedg ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdushgrfvedg.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6333 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4 vtxdushgrfvedg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2771 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6 eqid 2771 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
74, 5, 6vtxdgval 26599 . . 3 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
87adantl 467 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9 vtxdushgrfvedg.e . . . 4 𝐸 = (Edg‘𝐺)
104, 9vtxdushgrfvedglem 26620 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}))
11 fvex 6342 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1211dmex 7246 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
1312rabex 4946 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15 eqid 2771 . . . . 5 {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16 eqeq1 2775 . . . . . 6 (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
1716cbvrabv 3349 . . . . 5 {𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}} = {𝑐𝐸𝑐 = {𝑈}}
18 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
199, 5, 15, 17, 18ushgredgedgloop 26345 . . . 4 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})
2014, 19hasheqf1od 13346 . . 3 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}}))
2110, 20oveq12d 6811 . 2 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
223, 8, 213eqtrd 2809 1 ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((♯‘{𝑒𝐸𝑈𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒𝐸𝑒 = {𝑈}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  {csn 4316  cmpt 4863  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793   +𝑒 cxad 12149  chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  Edgcedg 26160  USHGraphcushgr 26173  VtxDegcvtxdg 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-hash 13322  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-ushgr 26175  df-vtxdg 26597
This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  26634
  Copyright terms: Public domain W3C validator