Theorem vtxdushgrfvedg 29523

Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg	⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6908	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
7	4, 5, 6	vtxdgval 29501	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	4, 9	vtxdushgrfvedglem 29522	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
11		fvex 6920	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	11	dmex 7932	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
13	12	rabex 5345	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
17	16	cbvrabv 3444	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑐 = {𝑈}}
18		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
19	9, 5, 15, 17, 18	ushgredgedgloop 29263	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})
20	14, 19	hasheqf1od 14389	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}}))
21	10, 20	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))
22	3, 8, 21	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   +_𝑒 cxad 13150  ♯chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USHGraphcushgr 29089  VtxDegcvtxdg 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-vtxdg 29499

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  29536