Theorem vtxdushgrfvedg 29508

Description: The value of the vertex degree function for a simple hypergraph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
vtxdushgrfvedg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg	⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑈,𝑒   𝑒,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑒)

Proof of Theorem vtxdushgrfvedg

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
2	1	fveq1i 6907	. . 3 ⊢ (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
4		vtxdushgrfvedg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
7	4, 5, 6	vtxdgval 29486	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})))
9		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
10	4, 9	vtxdushgrfvedglem 29507	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}))
11		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	11	dmex 7931	. . . . . 6 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
13	12	rabex 5339	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ∈ V)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} = {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}
16		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑐 → (𝑒 = {𝑈} ↔ 𝑐 = {𝑈}))
17	16	cbvrabv 3447	. . . . 5 ⊢ {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}} = {𝑐 ∈ 𝐸 ∣ 𝑐 = {𝑈}}
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
19	9, 5, 15, 17, 18	ushgredgedgloop 29248	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ {𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}} ↦ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)):{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})
20	14, 19	hasheqf1od 14392	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}}) = (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}}))
21	10, 20	oveq12d 7449	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝑈 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)}) +𝑒 (♯‘{𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = {𝑈}})) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))
22	3, 8, 21	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USHGraph ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (𝐷‘𝑈) = ((♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ 𝑒}) +𝑒 (♯‘{𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑒 = {𝑈}})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  {csn 4626   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   +_𝑒 cxad 13152  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Edgcedg 29064  USHGraphcushgr 29074  VtxDegcvtxdg 29483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-hash 14370  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-ushgr 29076  df-vtxdg 29484

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2  29521