Theorem wlkelwrd 29604

Description: The components of a walk are words/functions over a zero based range of integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkcomp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkcomp.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
wlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
wlkelwrd	⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))

Proof of Theorem wlkelwrd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcomp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		wlkcomp.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		wlkcomp.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
4		wlkcomp.2	. . 3 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	wlkcompim 29603	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))
6		3simpa 1148	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
7	5, 6	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   ⊆ wss 3900  {csn 4574  {cpr 4576  dom cdm 5614  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001  ...cfz 13399  ..^cfzo 13546  ♯chash 14229  Word cword 14412  Vtxcvtx 28967  iEdgciedg 28968  Walkscwlks 29568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-hash 14230  df-word 14413  df-wlks 29571

This theorem is referenced by:  wlkeq  29605  uspgr2wlkeq  29617  wlknewwlksn  29858