Theorem wlkcompim 28886

Description: Implications for the properties of the components of a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkcomp.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkcomp.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkcomp.1	⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
wlkcomp.2	⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
wlkcompim	⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem wlkcompim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex 6929	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
2		wlkcpr 28883	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (1st ‘𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑊))
3		wlkvv 28881	. . 3 ⊢ ((1st ‘𝑊)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑊) → 𝑊 ∈ (V × V))
4	2, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → 𝑊 ∈ (V × V))
5		wlkcomp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6		wlkcomp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		wlkcomp.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (1st ‘𝑊)
8		wlkcomp.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (2nd ‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	wlkcomp 28885	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
10	9	biimpcd 248	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (V × V)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))))
11	1, 4, 10	mp2and 697	1 ⊢ (𝑊 ∈ (Walks‘𝐺) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ⊆ wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1^st c1st 7972  2^nd c2nd 7973  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  ♯chash 14289  Word cword 14463  Vtxcvtx 28253  iEdgciedg 28254  Walkscwlks 28850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-wlks 28853

This theorem is referenced by:  wlkelwrd  28887