MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkcompim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkcompim 29490
Description: Implications for the properties of the components of a walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.) (Revised by AV, 2-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkcomp.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkcomp.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkcomp.1 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
wlkcomp.2 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
wlkcompim (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   𝑃,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐼(π‘˜)   𝑉(π‘˜)   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem wlkcompim
StepHypRef Expression
1 elfvex 6930 . 2 (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ V)
2 wlkcpr 29487 . . 3 (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (1st β€˜π‘Š)(Walksβ€˜πΊ)(2nd β€˜π‘Š))
3 wlkvv 29485 . . 3 ((1st β€˜π‘Š)(Walksβ€˜πΊ)(2nd β€˜π‘Š) β†’ π‘Š ∈ (V Γ— V))
42, 3sylbi 216 . 2 (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ π‘Š ∈ (V Γ— V))
5 wlkcomp.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
6 wlkcomp.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
7 wlkcomp.1 . . . 4 𝐹 = (1st β€˜π‘Š)
8 wlkcomp.2 . . . 4 𝑃 = (2nd β€˜π‘Š)
95, 6, 7, 8wlkcomp 29489 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)) β†’ (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
109biimpcd 248 . 2 (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ π‘Š ∈ (V Γ— V)) β†’ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜))))))
111, 4, 10mp2and 697 1 (π‘Š ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))if-((π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)), (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)) = {(π‘ƒβ€˜π‘˜)}, {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} βŠ† (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  if-wif 1060   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ...cfz 13516  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Word cword 14496  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Walkscwlks 29454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29457
This theorem is referenced by:  wlkelwrd  29491
  Copyright terms: Public domain W3C validator