Theorem wrd3tpop 14891

Description: A word of length three represented as triple of ordered pairs. (Contributed by AV, 26-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrd3tpop	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩, ⟨2, (𝑊‘2)⟩})

Proof of Theorem wrd3tpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14471	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		oveq2 7377	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^3))
4		fzo0to3tp 13691	. . . . . 6 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}
5	3, 4	eqtr2di 2781	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 3 → {0, 1, 2} = (0..^(♯‘𝑊)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → {0, 1, 2} = (0..^(♯‘𝑊)))
7	6	fneq2d 6594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → (𝑊 Fn {0, 1, 2} ↔ 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊))))
8	2, 7	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 Fn {0, 1, 2})
9		c0ex 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
10		1ex 11148	. . 3 ⊢ 1 ∈ V
11		2ex 12241	. . 3 ⊢ 2 ∈ V
12	9, 10, 11	fntpb 7165	. 2 ⊢ (𝑊 Fn {0, 1, 2} ↔ 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩, ⟨2, (𝑊‘2)⟩})
13	8, 12	sylib 218	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 3) → 𝑊 = {⟨0, (𝑊‘0)⟩, ⟨1, (𝑊‘1)⟩, ⟨2, (𝑊‘2)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {ctp 4589  ⟨cop 4591   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11046  1c1 11047  2c2 12219  3c3 12220  ..^cfzo 13593  ♯chash 14273  Word cword 14456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-hash 14274  df-word 14457

This theorem is referenced by:  wrdlen3s3  14892