Theorem pfx2 15018

Description: A prefix of length two. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

Proof of Theorem pfx2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12545	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℕ0)
3		lencl 14598	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
6		elfz2nn0 13673	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		pfxlen 14753	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2)
9		s2len 14960	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) = 2
10	9	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
12		2nn 12338	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lbfzo0 13755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
14	12, 13	mpbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
15		pfxfv 14752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
16	14, 15	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
18		fvex 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
19		s2fv0 14958	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
21	17, 20	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
22		1nn0 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		1lt2 12437	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
24		elfzo0 13756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
25	22, 12, 23, 24	mpbir3an 1360	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
26		pfxfv 14752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
27	25, 26	mp3an3 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
28		fvex 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘1) ∈ V
29		s2fv1 14959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1)
31	27, 30	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
32	31	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
33		0nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		fveq2 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘0))
35		fveq2 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0)))
37		fveq2 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘1))
38		fveq2 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
39	37, 38	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
40	36, 39	ralprg 4657	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))))
41	33, 22, 40	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
42	21, 32, 41	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))
43		eqeq1 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ↔ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)))
44		oveq2 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = (0..^2))
45		fzo0to2pr 13806	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
46	44, 45	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = {0, 1})
47	46	raleqdv 3319	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
48	43, 47	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
49	48	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
50	11, 42, 49	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
51	8, 50	mpdan 700	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
52		pfxcl 14747	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉)
53		s2cli 14951	. . . . 5 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V
54		eqwrd 14622	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
55	52, 53, 54	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
56	55	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
57	51, 56	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
58	7, 57	syldan 603	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578   prefix cpfx 14740  ⟨“cs2 14912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-s2 14919

This theorem is used by: (None)