Theorem pfx2 14898

Description: A prefix of length two. (Contributed by AV, 15-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfx2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

Proof of Theorem pfx2

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12489	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℕ0)
3		lencl 14483	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
6		elfz2nn0 13592	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		pfxlen 14633	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2)
9		s2len 14840	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) = 2
10	9	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
12		2nn 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
13		lbfzo0 13672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
14	12, 13	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^2)
15		pfxfv 14632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
16	14, 15	mp3an3 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
17	16	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
18		fvex 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
19		s2fv0 14838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
21	17, 20	eqtr4di 2791	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
22		1nn0 12488	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
23		1lt2 12383	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
24		elfzo0 13673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
25	22, 12, 23, 24	mpbir3an 1342	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (0..^2)
26		pfxfv 14632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
27	25, 26	mp3an3 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
28		fvex 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊‘1) ∈ V
29		s2fv1 14839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊‘1) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1)
31	27, 30	eqtr4di 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
32	31	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
33		0nn0 12487	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘0))
35		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
36	34, 35	eqeq12d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 0 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0)))
37		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘1))
38		fveq2 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 1 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
39	37, 38	eqeq12d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 1 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
40	36, 39	ralprg 4699	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))))
41	33, 22, 40	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
42	21, 32, 41	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))
43		eqeq1 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ↔ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)))
44		oveq2 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = (0..^2))
45		fzo0to2pr 13717	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
46	44, 45	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = {0, 1})
47	46	raleqdv 3326	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
48	43, 47	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
49	48	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
50	11, 42, 49	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
51	8, 50	mpdan 686	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
52		pfxcl 14627	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉)
53		s2cli 14831	. . . . 5 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V
54		eqwrd 14507	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
55	52, 53, 54	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
56	55	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
57	51, 56	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
58	7, 57	syldan 592	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3475  {cpr 4631   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  2c2 12267  ℕ₀cn0 12472  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ♯chash 14290  Word cword 14464   prefix cpfx 14620  ⟨“cs2 14792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-s2 14799

This theorem is referenced by: (None)