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Theorem pfx2 14897
Description: A prefix of length two. (Contributed by AV, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfx2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)

Proof of Theorem pfx2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12488 . . . 4 2 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℕ0)
3 lencl 14482 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5 simpr 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
6 elfz2nn0 13591 . . 3 (2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1343 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8 pfxlen 14632 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2)
9 s2len 14839 . . . . . . 7 (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) = 2
109eqcomi 2741 . . . . . 6 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩))
12 2nn 12284 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
13 lbfzo0 13671 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^2) ↔ 2 ∈ ℕ)
1412, 13mpbir 230 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^2)
15 pfxfv 14631 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
1614, 15mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
1716adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (𝑊‘0))
18 fvex 6904 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
19 s2fv0 14837 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
2117, 20eqtr4di 2790 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
22 1nn0 12487 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ0
23 1lt2 12382 . . . . . . . . . 10 1 < 2
24 elfzo0 13672 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0..^2) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
2522, 12, 23, 24mpbir3an 1341 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0..^2)
26 pfxfv 14631 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 1 ∈ (0..^2)) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
2725, 26mp3an3 1450 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (𝑊‘1))
28 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (𝑊‘1) ∈ V
29 s2fv1 14838 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘1) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1) = (𝑊‘1)
3127, 30eqtr4di 2790 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
3231adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
33 0nn0 12486 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
34 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘0))
35 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0))
3634, 35eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑖 = 0 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0)))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = ((𝑊 prefix 2)‘1))
38 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 1 → (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))
3937, 38eqeq12d 2748 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → (((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
4036, 39ralprg 4698 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1))))
4133, 22, 40mp2an 690 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ (((𝑊 prefix 2)‘0) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘0) ∧ ((𝑊 prefix 2)‘1) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘1)))
4221, 32, 41sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))
43 eqeq1 2736 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ↔ 2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)))
44 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = (0..^2))
45 fzo0to2pr 13716 . . . . . . . . 9 (0..^2) = {0, 1}
4644, 45eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2))) = {0, 1})
4746raleqdv 3325 . . . . . . 7 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
4843, 47anbi12d 631 . . . . . 6 ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2 → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
4948adantl 482 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → (((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)) ↔ (2 = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ {0, 1} ((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5011, 42, 49mpbir2and 711 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ (♯‘(𝑊 prefix 2)) = 2) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
518, 50mpdan 685 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖)))
52 pfxcl 14626 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉)
53 s2cli 14830 . . . . 5 ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V
54 eqwrd 14506 . . . . 5 (((𝑊 prefix 2) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ∈ Word V) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5552, 53, 54sylancl 586 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5655adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩ ↔ ((♯‘(𝑊 prefix 2)) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑊 prefix 2)))((𝑊 prefix 2)‘𝑖) = (⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩‘𝑖))))
5751, 56mpbird 256 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
587, 57syldan 591 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 prefix 2) = ⟨“(𝑊‘0)(𝑊‘1)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  Vcvv 3474  {cpr 4630   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247  cle 11248  cn 12211  2c2 12266  0cn0 12471  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  chash 14289  Word cword 14463   prefix cpfx 14619  ⟨“cs2 14791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-hash 14290  df-word 14464  df-concat 14520  df-s1 14545  df-substr 14590  df-pfx 14620  df-s2 14798
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