Theorem fzo0to3tp 13672

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12528	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13580	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12272	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12224	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11325	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7371	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12503	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13500	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12266	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4706	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2764	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {ctp 4585  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   − cmin 11368  2c2 12204  3c3 12205  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575

This theorem is referenced by:  s3fn  14838  wrd3tpop  14875  eqwrds3  14888  wrdl3s3  14889  trgcgrg  28570  tgcgr4  28586  2pthdlem1  29986  wwlks2onv  30009  elwwlks2ons3im  30010  usgrwwlks2on  30014  umgrwwlks2on  30015  3wlkdlem2  30218  upgr3v3e3cycl  30238  s3rnOLD  33009  s3f1  33010  cyc3evpm  33213  evl1deg2  33639  cos9thpiminplylem1  33920  prodfzo03  34741  circlevma  34780  circlemethhgt  34781  hgt750lemg  34792  hgt750lemb  34794  hgt750lema  34795  hgt750leme  34796  tgoldbachgtde  34798  tgoldbachgt  34801  cycl3grtrilem  48228  cycl3grtri  48229