Theorem fzo0to3tp 13769

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12615	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13676	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12356	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12304	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11386	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2791	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7411	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12590	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13596	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12349	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4710	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2792	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {ctp 4589  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429  2c2 12283  3c3 12284  ℤcz 12579  ...cfz 13523  ..^cfzo 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671

This theorem is referenced by:  s3fn  14936  wrd3tpop  14973  eqwrds3  14986  wrdl3s3  14987  trgcgrg  28738  tgcgr4  28754  2pthdlem1  30184  wwlks2onv  30207  elwwlks2ons3im  30208  usgrwwlks2on  30212  umgrwwlks2on  30213  3wlkdlem2  30416  upgr3v3e3cycl  30436  s3rnOLD  33174  s3f1  33175  cyc3evpm  33378  evl1deg2  33779  cos9thpiminplylem1  34084  prodfzo03  34902  circlevma  34941  circlemethhgt  34942  hgt750lemg  34953  hgt750lemb  34955  hgt750lema  34956  hgt750leme  34957  tgoldbachgtde  34959  tgoldbachgt  34962  cycl3grtrilem  48567  cycl3grtri  48568