Theorem fzo0to3tp 13783

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12628	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13690	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12369	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12317	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11399	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12603	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13610	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4715	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2790	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {ctp 4594  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  2c2 12296  3c3 12297  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685

This theorem is referenced by:  s3fn  14950  wrd3tpop  14987  eqwrds3  15000  wrdl3s3  15001  trgcgrg  28765  tgcgr4  28781  2pthdlem1  30260  wwlks2onv  30283  elwwlks2ons3im  30284  usgrwwlks2on  30288  umgrwwlks2on  30289  3wlkdlem2  30492  upgr3v3e3cycl  30512  s3rnOLD  33247  s3f1  33248  cyc3evpm  33451  evl1deg2  33848  cos9thpiminplylem1  34153  prodfzo03  34971  circlevma  35010  circlemethhgt  35011  hgt750lemg  35022  hgt750lemb  35024  hgt750lema  35025  hgt750leme  35026  tgoldbachgtde  35028  tgoldbachgt  35031  cycl3grtrilem  48694  cycl3grtri  48695