Theorem fzo0to3tp 13707

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12560	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13614	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12304	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12256	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11334	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7378	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12535	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13534	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12298	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4692	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2763	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {ctp 4571  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377  2c2 12236  3c3 12237  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  s3fn  14873  wrd3tpop  14910  eqwrds3  14923  wrdl3s3  14924  trgcgrg  28583  tgcgr4  28599  2pthdlem1  29998  wwlks2onv  30021  elwwlks2ons3im  30022  usgrwwlks2on  30026  umgrwwlks2on  30027  3wlkdlem2  30230  upgr3v3e3cycl  30250  s3rnOLD  33006  s3f1  33007  cyc3evpm  33211  evl1deg2  33637  cos9thpiminplylem1  33926  prodfzo03  34747  circlevma  34786  circlemethhgt  34787  hgt750lemg  34798  hgt750lemb  34800  hgt750lema  34801  hgt750leme  34802  tgoldbachgtde  34804  tgoldbachgt  34807  cycl3grtrilem  48422  cycl3grtri  48423