Theorem fzo0to3tp 13656

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12513	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13564	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12257	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12209	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11310	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7365	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12488	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13484	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2734	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12251	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4702	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2760	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {ctp 4581  (class class class)co 7354  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   − cmin 11353  2c2 12189  3c3 12190  ℤcz 12477  ...cfz 13411  ..^cfzo 13558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559

This theorem is referenced by:  s3fn  14822  wrd3tpop  14859  eqwrds3  14872  wrdl3s3  14873  trgcgrg  28496  tgcgr4  28512  2pthdlem1  29912  wwlks2onv  29935  elwwlks2ons3im  29936  usgrwwlks2on  29940  umgrwwlks2on  29941  3wlkdlem2  30144  upgr3v3e3cycl  30164  s3rnOLD  32936  s3f1  32937  cyc3evpm  33128  evl1deg2  33549  cos9thpiminplylem1  33818  prodfzo03  34639  circlevma  34678  circlemethhgt  34679  hgt750lemg  34690  hgt750lemb  34692  hgt750lema  34693  hgt750leme  34694  tgoldbachgtde  34696  tgoldbachgt  34699  cycl3grtrilem  48073  cycl3grtri  48074