Theorem fzo0to3tp 13867

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12710	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13774	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12451	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11479	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7423	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12685	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13694	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12444	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4709	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2788	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {ctp 4588  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   − cmin 11522  2c2 12378  3c3 12379  ℤcz 12674  ...cfz 13620  ..^cfzo 13768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769

This theorem is used by:  s3fn  15042  wrd3tpop  15079  s3rex  15081  eqwrds3  15094  wrdl3s3  15095  trgcgrg  28960  tgcgr4  28976  elcgrabasi  29357  2pthdlem1  30501  wwlks2onv  30524  elwwlks2ons3im  30525  usgrwwlks2on  30529  umgrwwlks2on  30530  3wlkdlem2  30743  upgr3v3e3cycl  30763  s3f1  33493  cyc3evpm  33693  evl1deg2  34091  cos9thpiminplylem1  34396  prodfzo03  35215  circlevma  35254  circlemethhgt  35255  hgt750lemg  35266  hgt750lemb  35268  hgt750lema  35269  hgt750leme  35270  tgoldbachgtde  35272  tgoldbachgt  35275  cycl3grtrilem  48988  cycl3grtri  48989