Theorem fzo0to3tp 13917

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12759	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13824	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12500	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11528	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7457	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12734	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13744	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12493	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4709	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2790	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {ctp 4592  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   − cmin 11571  2c2 12427  3c3 12428  ℤcz 12723  ...cfz 13669  ..^cfzo 13818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819

This theorem is used by:  s3fn  15094  wrd3tpop  15131  s3rex  15133  eqwrds3  15146  wrdl3s3  15147  trgcgrg  29011  tgcgr4  29027  elcgrabasi  29408  2pthdlem1  30552  wwlks2onv  30575  elwwlks2ons3im  30576  usgrwwlks2on  30580  umgrwwlks2on  30581  3wlkdlem2  30794  upgr3v3e3cycl  30814  s3f1  33584  cyc3evpm  33787  evl1deg2  34192  cos9thpiminplylem1  34497  prodfzo03  35315  circlevma  35354  circlemethhgt  35355  hgt750lemg  35366  hgt750lemb  35368  hgt750lema  35369  hgt750leme  35370  tgoldbachgtde  35372  tgoldbachgt  35375  cycl3grtrilem  49259  cycl3grtri  49260