Theorem fzo0to3tp 13705

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12558	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		fzoval 13612	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (0..^3) = (0...(3 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^3) = (0...(3 − 1))
4		3m1e2 12302	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
5		2cn 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
6	5	addlidi 11332	. . . 4 ⊢ (0 + 2) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ (3 − 1) = (0 + 2)
8	7	oveq2i 7374	. 2 ⊢ (0...(3 − 1)) = (0...(0 + 2))
9		0z 12533	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		fztp 13532	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, (0 + 1), (0 + 2)})
11		eqidd 2741	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 = 0)
12		0p1e1 12296	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 1) = 1)
14	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0 + 2) = 2)
15	11, 13, 14	tpeq123d 4687	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → {0, (0 + 1), (0 + 2)} = {0, 1, 2})
16	10, 15	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2})
17	9, 16	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 2)) = {0, 1, 2}
18	3, 8, 17	3eqtri 2767	1 ⊢ (0..^3) = {0, 1, 2}

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {ctp 4566  (class class class)co 7363  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   − cmin 11375  2c2 12234  3c3 12235  ℤcz 12522  ...cfz 13459  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  s3fn  14871  wrd3tpop  14908  eqwrds3  14921  wrdl3s3  14922  trgcgrg  28608  tgcgr4  28624  2pthdlem1  30023  wwlks2onv  30046  elwwlks2ons3im  30047  usgrwwlks2on  30051  umgrwwlks2on  30052  3wlkdlem2  30255  upgr3v3e3cycl  30275  s3rnOLD  33032  s3f1  33033  cyc3evpm  33238  evl1deg2  33667  cos9thpiminplylem1  33973  prodfzo03  34794  circlevma  34833  circlemethhgt  34834  hgt750lemg  34845  hgt750lemb  34847  hgt750lema  34848  hgt750leme  34849  tgoldbachgtde  34851  tgoldbachgt  34854  cycl3grtrilem  48444  cycl3grtri  48445