Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wrdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdres 30954
Description: Condition for the restriction of a word to be a word itself. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdres ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)

Proof of Theorem wrdres
StepHypRef Expression
1 wrdf 13505 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑆𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆)
2 elfzuz3 12545 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁))
3 fzoss2 12703 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5 fssres 6210 . . 3 ((𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
61, 4, 5syl2an 575 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
7 iswrdi 13504 . 2 ((𝑊 ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
86, 7syl 17 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  wss 3723  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  cuz 11887  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494
This theorem is referenced by:  signstres  30989
  Copyright terms: Public domain W3C validator