Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstres 34590
Description: Restriction of a zero skipping sign to a subword. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
Assertion
Ref Expression
signstres ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑁,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstres
Dummy variables 𝑔 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 signsv.p . . . . . . . 8 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
2 signsv.w . . . . . . . 8 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
3 signsv.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
4 signsv.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
51, 2, 3, 4signstf 34581 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) ∈ Word ℝ)
6 wrdf 14557 . . . . . . 7 ((𝑇𝐹) ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹):(0..^(♯‘(𝑇𝐹)))⟶ℝ)
7 ffn 6736 . . . . . . 7 ((𝑇𝐹):(0..^(♯‘(𝑇𝐹)))⟶ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘(𝑇𝐹))))
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘(𝑇𝐹))))
91, 2, 3, 4signstlen 34582 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇𝐹)) = (♯‘𝐹))
109oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(𝑇𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹)))
1110fneq2d 6662 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘(𝑇𝐹))) ↔ (𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘𝐹))))
128, 11mpbid 232 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
13 fnresin 32636 . . . . 5 ((𝑇𝐹) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
1514adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)))
16 elfzuz3 13561 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁))
17 fzoss2 13727 . . . . . 6 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
1918adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
20 incom 4209 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁))
21 dfss2 3969 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^𝑁))
2221biimpi 216 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^𝑁))
2320, 22eqtr3id 2791 . . . . 5 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
2423fneq2d 6662 . . . 4 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁)))
2519, 24syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^𝑁)) ↔ ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁)))
2615, 25mpbid 232 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
27 wrdres 32919 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ)
281, 2, 3, 4signstf 34581 . . . 4 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) ∈ Word ℝ)
29 wrdf 14557 . . . 4 ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) ∈ Word ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))):(0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))⟶ℝ)
30 ffn 6736 . . . 4 ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))):(0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))⟶ℝ → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))))
3127, 28, 29, 304syl 19 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))))
321, 2, 3, 4signstlen 34582 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ → (♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
3327, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
34 wrdfn 14566 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
35 fnssres 6691 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ (0..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
3634, 18, 35syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁))
37 hashfn 14414 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) Fn (0..^𝑁) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = (♯‘(0..^𝑁)))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = (♯‘(0..^𝑁)))
39 elfznn0 13660 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
40 hashfzo0 14469 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4139, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹)) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
4333, 38, 423eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = 𝑁)
4443oveq2d 7447 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) = (0..^𝑁))
4544fneq2d 6662 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^(♯‘(𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) ↔ (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^𝑁)))
4631, 45mpbid 232 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) Fn (0..^𝑁))
47 fvres 6925 . . . . 5 (𝑚 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇𝐹)‘𝑚))
4847ad3antlr 731 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇𝐹)‘𝑚))
49 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
5049fveq2d 6910 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)))
5150fveq1d 6908 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → ((𝑇𝐹)‘𝑚) = ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚))
5227ad3antrrr 730 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ)
53 simplr 769 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝑔 ∈ Word ℝ)
5438, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
5554oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (0..^𝑁))
5655eleq2d 2827 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (𝑚 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) ↔ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)))
5756biimpar 477 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑚 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))
5857ad2antrr 726 . . . . 5 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → 𝑚 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))))
591, 2, 3, 4signstfvc 34589 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word ℝ ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ ∧ 𝑚 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6052, 53, 58, 59syl3anc 1373 . . . 4 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → ((𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6148, 51, 603eqtrd 2781 . . 3 (((((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑔 ∈ Word ℝ) ∧ 𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
62 wrdsplex 32920 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ∃𝑔 ∈ Word ℝ𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
6362adantr 480 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑔 ∈ Word ℝ𝐹 = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ 𝑔))
6461, 63r19.29a 3162 . 2 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) ∧ 𝑚 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁))‘𝑚) = ((𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))‘𝑚))
6526, 46, 64eqfnfvd 7054 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹) ↾ (0..^𝑁)) = (𝑇‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {cpr 4628  {ctp 4630  cop 4632  cmpt 5225  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  cmin 11492  -cneg 11493  0cn0 12526  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  sgncsgn 15125  Σcsu 15722  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297   Σg cgsu 17485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-sgn 15126  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator