MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgfrgrgt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgfrgrgt2 30231
Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 5-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vdgfrgrgt2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgrgt2
StepHypRef Expression
1 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21vdgn0frgrv2 30228 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
32imp 405 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
41vdgn1frgrv2 30229 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1))
54imp 405 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1)
61vtxdgelxnn0 29409 . . . . 5 (𝑁𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0*)
7 xnn0n0n1ge2b 13165 . . . . 5 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0* → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑁𝑉 → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
98ad2antlr 725 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
103, 5, 9mpbi2and 710 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁))
1110ex 411 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  cfv 6554  0cc0 11158  1c1 11159   < clt 11298  cle 11299  2c2 12319  0*cxnn0 12596  chash 14347  Vtxcvtx 28932  VtxDegcvtxdg 29402   FriendGraph cfrgr 30191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-xadd 13147  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-uspgr 29086  df-usgr 29087  df-vtxdg 29403  df-wlks 29536  df-wlkson 29537  df-trls 29629  df-trlson 29630  df-pths 29653  df-spths 29654  df-pthson 29655  df-spthson 29656  df-conngr 30120  df-frgr 30192
This theorem is referenced by:  frgrwopreglem2  30246
  Copyright terms: Public domain W3C validator