Theorem vdgfrgrgt2 28662

Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn1frgrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdgfrgrgt2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgrgt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn1frgrv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vdgn0frgrv2 28659	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
3	2	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
4	1	vdgn1frgrv2 28660	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1))
5	4	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1)
6	1	vtxdgelxnn0 27839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0*)
7		xnn0n0n1ge2b 12867	. . . . 5 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0* → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
9	8	ad2antlr 724	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
10	3, 5, 9	mpbi2and 709	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁))
11	10	ex 413	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  0cc0 10871  1c1 10872   < clt 11009   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℕ₀^*cxnn0 12305  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  VtxDegcvtxdg 27832   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-xadd 12849  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-edg 27418  df-uhgr 27428  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-uspgr 27520  df-usgr 27521  df-vtxdg 27833  df-wlks 27966  df-wlkson 27967  df-trls 28060  df-trlson 28061  df-pths 28084  df-spths 28085  df-pthson 28086  df-spthson 28087  df-conngr 28551  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem2  28677