Theorem vdgfrgrgt2 30373

Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn1frgrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdgfrgrgt2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgrgt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn1frgrv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vdgn0frgrv2 30370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
3	2	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
4	1	vdgn1frgrv2 30371	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1))
5	4	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1)
6	1	vtxdgelxnn0 29546	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0*)
7		xnn0n0n1ge2b 13046	. . . . 5 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0* → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
9	8	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
10	3, 5, 9	mpbi2and 712	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁))
11	10	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  0cc0 11026  1c1 11027   < clt 11166   ≤ cle 11167  2c2 12200  ℕ₀^*cxnn0 12474  ♯chash 14253  Vtxcvtx 29069  VtxDegcvtxdg 29539   FriendGraph cfrgr 30333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-uz 12752  df-xadd 13027  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437  df-concat 14494  df-s1 14520  df-s2 14771  df-s3 14772  df-edg 29121  df-uhgr 29131  df-upgr 29155  df-umgr 29156  df-uspgr 29223  df-usgr 29224  df-vtxdg 29540  df-wlks 29673  df-wlkson 29674  df-trls 29764  df-trlson 29765  df-pths 29787  df-spths 29788  df-pthson 29789  df-spthson 29790  df-conngr 30262  df-frgr 30334

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem2  30388