Theorem vdgfrgrgt2 30781

Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.) (Revised by AV, 5-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn1frgrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdgfrgrgt2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgrgt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdn1frgrv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	vdgn0frgrv2 30778	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
3	2	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
4	1	vdgn1frgrv2 30779	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1))
5	4	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1)
6	1	vtxdgelxnn0 29935	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0*)
7		xnn0n0n1ge2b 13186	. . . . 5 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ∈ ℕ0* → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
9	8	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 1) ↔ 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))
10	3, 5, 9	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁))
11	10	ex 418	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 2 ≤ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271  2c2 12322  ℕ₀^*cxnn0 12604  ♯chash 14397  Vtxcvtx 29456  VtxDegcvtxdg 29928   FriendGraph cfrgr 30741

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-xadd 13167  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922  df-s3 14923  df-edg 29508  df-uhgr 29518  df-upgr 29542  df-umgr 29543  df-uspgr 29613  df-usgr 29614  df-vtxdg 29929  df-wlks 30062  df-wlkson 30063  df-trls 30157  df-trlson 30158  df-pths 30181  df-spths 30182  df-pthson 30183  df-spthson 30184  df-conngr 30670  df-frgr 30742

This theorem is used by:  frgrwopreglem2  30796