Theorem zlmds 33922

Description: Distance in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmds	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 21543	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 17431	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		slotsdnscsi 17437	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
8	7	simp1i 1138	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
9	6, 8	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
10	7	simp2i 1139	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
11	6, 10	setsnid 17242	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
12	9, 11	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
13	5, 12	eqtr4di 2792	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
14	1, 13	eqtr4id 2793	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  ⟨cop 4636  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  ·_𝑖cip 17302  distcds 17306  ._gcmg 19097  ℤ_ringczring 21474  ℤModczlm 21528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-ds 17319  df-zlm 21532

This theorem is referenced by:  zlmnm  33926  zhmnrg  33927