Theorem zlmds 31476

Description: Distance in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmds	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 20329	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6672	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 16772	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		5re 11796	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		1nn 11720	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		2nn0 11986	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 11989	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		5lt10 12307	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
12	8, 9, 10, 11	declti 12210	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
13	7, 12	gtneii 10823	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
14		dsndx 16771	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
15		scandx 16728	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeq12i 3000	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
17	13, 16	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	6, 17	setsnid 16635	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
19		6re 11799	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
20		6nn0 11990	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21		6lt10 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
22	8, 9, 20, 21	declti 12210	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
23	19, 22	gtneii 10823	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
24		vscandx 16730	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
25	14, 24	neeq12i 3000	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
26	23, 25	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	6, 26	setsnid 16635	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	18, 27	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
29	5, 28	eqtr4di 2791	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
30	1, 29	eqtr4id 2792	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ⟨cop 4519  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  1c1 10609  2c2 11764  5c5 11767  6c6 11768  ;cdc 12172  ndxcnx 16576   sSet csts 16577  Scalarcsca 16664   ·_𝑠 cvsca 16665  distcds 16670  ._gcmg 18335  ℤ_ringzring 20282  ℤModczlm 20314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-sets 16586  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ds 16683  df-zlm 20318

This theorem is referenced by:  zlmnm  31478  zhmnrg  31479