Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmds 33596
Description: Distance in a -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmds (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmds.1 . 2 𝐷 = (dist‘𝐺)
2 zlmlem2.1 . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3 eqid 2728 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
42, 3zlmval 21448 . . . 4 (𝐺𝑉𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
54fveq2d 6906 . . 3 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
6 dsid 17374 . . . . 5 dist = Slot (dist‘ndx)
7 slotsdnscsi 17380 . . . . . 6 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
87simp1i 1136 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
96, 8setsnid 17185 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
107simp2i 1137 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
116, 10setsnid 17185 . . . 4 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
129, 11eqtri 2756 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
135, 12eqtr4di 2786 . 2 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
141, 13eqtr4id 2787 1 (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  cop 4638  cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17139  ndxcnx 17169  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  ·𝑖cip 17245  distcds 17249  .gcmg 19030  ringczring 21379  ℤModczlm 21433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-ds 17262  df-zlm 21437
This theorem is referenced by:  zlmnm  33600  zhmnrg  33601
  Copyright terms: Public domain W3C validator