Theorem zlmds 31814

Description: Distance in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmds	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
4	2, 3	zlmval 20629	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
5	4	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
6		dsid 17017	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
7		5re 11990	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
8		1nn 11914	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
9		2nn0 12180	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
10		5nn0 12183	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
11		5lt10 12501	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
12	8, 9, 10, 11	declti 12404	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
13	7, 12	gtneii 11017	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
14		dsndx 17016	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
15		scandx 16950	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
16	14, 15	neeq12i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
17	13, 16	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
18	6, 17	setsnid 16838	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
19		6re 11993	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
20		6nn0 12184	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
21		6lt10 12500	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
22	8, 9, 20, 21	declti 12404	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
23	19, 22	gtneii 11017	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
24		vscandx 16955	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
25	14, 24	neeq12i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
26	23, 25	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
27	6, 26	setsnid 16838	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	18, 27	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
29	5, 28	eqtr4di 2797	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
30	1, 29	eqtr4id 2798	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  2c2 11958  5c5 11961  6c6 11962  ;cdc 12366   sSet csts 16792  ndxcnx 16822  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  distcds 16897  ._gcmg 18615  ℤ_ringzring 20582  ℤModczlm 20614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ds 16910  df-zlm 20618

This theorem is referenced by:  zlmnm  31816  zhmnrg  31817