Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmds 30827
 Description: Distance in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmds (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2795 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
31, 2zlmval 20350 . . . 4 (𝐺𝑉𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
43fveq2d 6547 . . 3 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
5 dsid 16510 . . . . 5 dist = Slot (dist‘ndx)
6 5re 11577 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
7 1nn 11502 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
8 2nn0 11767 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
9 5nn0 11770 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
10 5lt10 12088 . . . . . . . 8 5 < 10
117, 8, 9, 10declti 11990 . . . . . . 7 5 < 12
126, 11gtneii 10604 . . . . . 6 12 ≠ 5
13 dsndx 16509 . . . . . . 7 (dist‘ndx) = 12
14 scandx 16466 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
1513, 14neeq12i 3050 . . . . . 6 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 12 ≠ 5)
1612, 15mpbir 232 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
175, 16setsnid 16373 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
18 6re 11580 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
19 6nn0 11771 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
20 6lt10 12087 . . . . . . . 8 6 < 10
217, 8, 19, 20declti 11990 . . . . . . 7 6 < 12
2218, 21gtneii 10604 . . . . . 6 12 ≠ 6
23 vscandx 16468 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2413, 23neeq12i 3050 . . . . . 6 ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 12 ≠ 6)
2522, 24mpbir 232 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
265, 25setsnid 16373 . . . 4 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2717, 26eqtri 2819 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
284, 27syl6eqr 2849 . 2 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
29 zlmds.1 . 2 𝐷 = (dist‘𝐺)
3028, 29syl6reqr 2850 1 (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ⟨cop 4482  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  1c1 10389  2c2 11545  5c5 11548  6c6 11549  ;cdc 11952  ndxcnx 16314   sSet csts 16315  Scalarcsca 16402   ·𝑠 cvsca 16403  distcds 16408  .gcmg 17986  ℤringzring 20304  ℤModczlm 20335 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-sets 16324  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ds 16421  df-zlm 20339 This theorem is referenced by:  zlmnm  30829  zhmnrg  30830
 Copyright terms: Public domain W3C validator