Theorem zlmds 30827

Description: Distance in a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmds	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2		eqid 2795	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3	1, 2	zlmval 20350	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
4	3	fveq2d 6547	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
5		dsid 16510	. . . . 5 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
6		5re 11577	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
7		1nn 11502	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		2nn0 11767	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
9		5nn0 11770	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10		5lt10 12088	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < ;10
11	7, 8, 9, 10	declti 11990	. . . . . . 7 ⊢ 5 < ;12
12	6, 11	gtneii 10604	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 5
13		dsndx 16509	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
14		scandx 16466	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
15	13, 14	neeq12i 3050	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
16	12, 15	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
17	5, 16	setsnid 16373	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
18		6re 11580	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		6nn0 11771	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℕ0
20		6lt10 12087	. . . . . . . 8 ⊢ 6 < ;10
21	7, 8, 19, 20	declti 11990	. . . . . . 7 ⊢ 6 < ;12
22	18, 21	gtneii 10604	. . . . . 6 ⊢ ;12 ≠ 6
23		vscandx 16468	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
24	13, 23	neeq12i 3050	. . . . . 6 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
25	22, 24	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
26	5, 25	setsnid 16373	. . . 4 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
27	17, 26	eqtri 2819	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
28	4, 27	syl6eqr 2849	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
29		zlmds.1	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
30	28, 29	syl6reqr 2850	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐷 = (dist‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ⟨cop 4482  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  1c1 10389  2c2 11545  5c5 11548  6c6 11549  ;cdc 11952  ndxcnx 16314   sSet csts 16315  Scalarcsca 16402   ·_𝑠 cvsca 16403  distcds 16408  ._gcmg 17986  ℤ_ringzring 20304  ℤModczlm 20335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-dec 11953  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-sets 16324  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-ds 16421  df-zlm 20339

This theorem is referenced by:  zlmnm  30829  zhmnrg  30830