Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmds 30348
Description: Distance in a -module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmds.1 𝐷 = (dist‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
zlmds (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
2 eqid 2771 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
31, 2zlmval 20079 . . . 4 (𝐺𝑉𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
43fveq2d 6336 . . 3 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩)))
5 dsid 16271 . . . . 5 dist = Slot (dist‘ndx)
6 5re 11301 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
7 1nn 11233 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
8 2nn0 11511 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
9 5nn0 11514 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
10 5lt10 11878 . . . . . . . 8 5 < 10
117, 8, 9, 10declti 11748 . . . . . . 7 5 < 12
126, 11gtneii 10351 . . . . . 6 12 ≠ 5
13 dsndx 16270 . . . . . . 7 (dist‘ndx) = 12
14 scandx 16221 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
1513, 14neeq12i 3009 . . . . . 6 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 12 ≠ 5)
1612, 15mpbir 221 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
175, 16setsnid 16122 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩))
18 6re 11303 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
19 6nn0 11515 . . . . . . . 8 6 ∈ ℕ0
20 6lt10 11877 . . . . . . . 8 6 < 10
217, 8, 19, 20declti 11748 . . . . . . 7 6 < 12
2218, 21gtneii 10351 . . . . . 6 12 ≠ 6
23 vscandx 16223 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
2413, 23neeq12i 3009 . . . . . 6 ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 12 ≠ 6)
2522, 24mpbir 221 . . . . 5 (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
265, 25setsnid 16122 . . . 4 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
2717, 26eqtri 2793 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g𝐺)⟩))
284, 27syl6eqr 2823 . 2 (𝐺𝑉 → (dist‘𝑊) = (dist‘𝐺))
29 zlmds.1 . 2 𝐷 = (dist‘𝐺)
3028, 29syl6reqr 2824 1 (𝐺𝑉𝐷 = (dist‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  2c2 11272  5c5 11275  6c6 11276  cdc 11695  ndxcnx 16061   sSet csts 16062  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  distcds 16158  .gcmg 17748  ringzring 20033  ℤModczlm 20064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-sets 16071  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ds 16172  df-zlm 20068
This theorem is referenced by:  zlmnm  30350  zhmnrg  30351
  Copyright terms: Public domain W3C validator