Theorem 3nn0 12617

Description: 3 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
3nn0	⊢ 3 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 3nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12415	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12607	1 ⊢ 3 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  3c3 12391  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600

This theorem is used by:  7p4e11  12888  7p7e14  12891  8p4e12  12894  8p6e14  12896  9p4e13  12901  9p5e14  12902  4t4e16  12911  5t4e20  12914  6t4e24  12918  6t6e36  12920  7t4e28  12923  7t6e42  12925  8t4e32  12929  8t5e40  12930  9t4e36  12936  9t5e45  12937  9t7e63  12939  9t8e72  12940  3lt10  12950  fz0to3un2pr  13756  4fvwrd4  13775  fldiv4p1lem1div2  13968  expnass  14345  binom3  14361  fac4  14418  4bc2eq6  14466  hash3tr  14629  tpf1o  14639  s3rex  15094  bpoly3  16217  bpoly4  16218  fsumcube  16219  ef4p  16274  efi4p  16298  resin4p  16299  recos4p  16300  ef01bndlem  16345  sin01bnd  16346  sin01gt0  16351  2exp5  17256  2exp6  17257  2exp8  17259  2exp11  17260  2exp16  17261  3exp3  17262  7prm  17281  11prm  17286  13prm  17287  17prm  17288  23prm  17290  prmlem2  17291  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem1  17302  1259lem2  17303  1259lem3  17304  1259lem4  17305  1259lem5  17306  1259prm  17307  2503lem1  17308  2503lem2  17309  2503lem3  17310  2503prm  17311  4001lem1  17312  4001lem2  17313  4001lem3  17314  4001lem4  17315  4001prm  17316  dsndxnmulrndx  17555  basendxltunifndx  17562  unifndxntsetndx  17564  slotsdifunifndx  17565  tangtx  26827  1cubrlem  27162  dcubic1lem  27164  dcubic2  27165  dcubic1  27166  dcubic  27167  mcubic  27168  cubic2  27169  cubic  27170  binom4  27171  dquartlem2  27173  quart1cl  27175  quart1lem  27176  quart1  27177  quartlem1  27178  quartlem2  27179  quart  27182  log2ublem1  27267  log2ublem3  27269  log2ub  27270  log2le1  27271  birthday  27275  ppiublem2  27523  bclbnd  27600  bpos1  27603  bposlem8  27611  gausslemma2dlem4  27689  2lgslem3b  27717  2lgslem3d  27719  pntlemd  27914  pntlema  27916  pntlemb  27917  pntlemf  27925  pntlemo  27927  pntlem3  27929  tgcgr4  28987  iscgra  29309  isinag  29350  isleag  29359  elcgrabasi  29368  iseqlg  29405  usgrexmplef  29833  upgr3v3e3cycl  30774  upgr4cycl4dv4e  30779  konigsbergiedgw  30842  konigsberglem1  30846  konigsberglem2  30847  konigsberglem3  30848  konigsberglem4  30849  ex-prmo  31053  threehalves  33474  evl1deg2  34102  evl1deg3  34103  ply1dg3rt0irred  34109  iconstr  34391  2sqr3minply  34405  2sqr3nconstr  34406  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminplylem3  34409  cos9thpiminplylem4  34410  cos9thpiminplylem5  34411  cos9thpiminplylem6  34412  cos9thpiminply  34413  cos9thpinconstrlem2  34415  circlemethhgt  35265  hgt750lemd  35270  hgt750lem  35273  hgt750lem2  35274  hgt750lemb  35278  hgt750lema  35279  hgt750leme  35280  tgoldbachgtde  35282  tgoldbachgtda  35283  tgoldbachgt  35285  cusgracyclt3v  35900  kur14lem8  35957  3exp7  43083  3lexlogpow5ineq1  43084  3lexlogpow2ineq1  43088  3lexlogpow5ineq5  43090  aks4d1p1p7  43104  aks4d1p1p5  43105  aks4d1p1  43106  25or6to4  43236  235t711  43342  ex-decpmul  43343  nicomachus  43349  3cubeslem3l  43676  3cubeslem3r  43677  3cubeslem4  43679  3cubes  43680  jm2.23  43982  jm2.20nn  43983  rmydioph  44000  rmxdioph  44002  expdiophlem2  44008  expdioph  44009  resqrtvalex  44630  amgm3d  45184  lhe4.4ex1a  45298  sin3t  47886  cos3t  47887  sin5tlem1  47888  sin5tlem2  47889  sin5tlem3  47890  sin5tlem4  47891  sin5tlem5  47892  goldpolyfactor  47896  goldratmolem2  47902  goldratmolem3  47903  8mod5e3  48405  modm2nep1  48411  modm1nep2  48413  fmtno3  48605  fmtno4  48606  fmtno5lem1  48607  fmtno5lem2  48608  fmtno5lem3  48609  fmtno5lem4  48610  fmtno5  48611  257prm  48615  fmtnoprmfac2lem1  48620  fmtno4prmfac  48626  fmtno4prmfac193  48627  fmtno4nprmfac193  48628  fmtno5faclem2  48634  139prmALT  48650  31prm  48651  m5prm  48652  127prm  48653  m11nprm  48655  mod42tp1mod8  48656  ppivalnn4  48681  11t31e341  48799  2exp340mod341  48800  341fppr2  48801  8exp8mod9  48803  nfermltl2rev  48810  tgoldbachlt  48883  tgoldbach  48884  grtriprop  49008  grtriclwlk3  49012  cycl3grtri  49014  usgrexmpl1lem  49088  usgrexmpl2lem  49093  usgrexmpl2nb2  49100  gpg5gricstgr3  49157  gpg5grlim  49160  gpg5grlic  49161  gpgprismgr4cycllem7  49168  gpgprismgr4cycllem10  49171  gpg5edgnedg  49197  zlmodzxzldeplem1  49581  itcoval3  49746  ackval3  49764  ackval0012  49770  ackval1012  49771  ackval2012  49772  ackval3012  49773  ackval40  49774  ackval41a  49775  ackval41  49776  ackval42  49777