Theorem 3nn0 12533

Description: 3 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
3nn0	⊢ 3 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 3nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12331	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12523	1 ⊢ 3 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  3c3 12307  ℕ₀cn0 12515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516

This theorem is used by:  7p4e11  12804  7p7e14  12807  8p4e12  12810  8p6e14  12812  9p4e13  12817  9p5e14  12818  4t4e16  12827  5t4e20  12830  6t4e24  12834  6t6e36  12836  7t4e28  12839  7t6e42  12841  8t4e32  12845  8t5e40  12846  9t4e36  12852  9t5e45  12853  9t7e63  12855  9t8e72  12856  3lt10  12866  fz0to3un2pr  13670  4fvwrd4  13689  fldiv4p1lem1div2  13882  expnass  14258  binom3  14274  fac4  14331  4bc2eq6  14379  hash3tr  14542  tpf1o  14552  bpoly3  16130  bpoly4  16131  fsumcube  16132  ef4p  16187  efi4p  16211  resin4p  16212  recos4p  16213  ef01bndlem  16258  sin01bnd  16259  sin01gt0  16264  2exp5  17163  2exp6  17164  2exp8  17166  2exp11  17167  2exp16  17168  3exp3  17169  7prm  17188  11prm  17193  13prm  17194  17prm  17195  23prm  17197  prmlem2  17198  37prm  17199  43prm  17200  83prm  17201  139prm  17202  163prm  17203  317prm  17204  631prm  17205  1259lem1  17209  1259lem2  17210  1259lem3  17211  1259lem4  17212  1259lem5  17213  1259prm  17214  2503lem1  17215  2503lem2  17216  2503lem3  17217  2503prm  17218  4001lem1  17219  4001lem2  17220  4001lem3  17221  4001lem4  17222  4001prm  17223  dsndxnmulrndx  17462  basendxltunifndx  17469  unifndxntsetndx  17471  slotsdifunifndx  17472  tangtx  26701  1cubrlem  27037  dcubic1lem  27039  dcubic2  27040  dcubic1  27041  dcubic  27042  mcubic  27043  cubic2  27044  cubic  27045  binom4  27046  dquartlem2  27048  quart1cl  27050  quart1lem  27051  quart1  27052  quartlem1  27053  quartlem2  27054  quart  27057  log2ublem1  27142  log2ublem3  27144  log2ub  27145  log2le1  27146  birthday  27150  ppiublem2  27398  bclbnd  27475  bpos1  27478  bposlem8  27486  gausslemma2dlem4  27564  2lgslem3b  27592  2lgslem3d  27594  pntlemd  27789  pntlema  27791  pntlemb  27792  pntlemf  27800  pntlemo  27802  pntlem3  27804  tgcgr4  28831  iscgra  29151  isinag  29186  isleag  29195  iseqlg  29215  usgrexmplef  29643  upgr3v3e3cycl  30578  upgr4cycl4dv4e  30583  konigsbergiedgw  30646  konigsberglem1  30650  konigsberglem2  30651  konigsberglem3  30652  konigsberglem4  30653  ex-prmo  30857  threehalves  33280  evl1deg2  33907  evl1deg3  33908  ply1dg3rt0irred  33914  iconstr  34196  2sqr3minply  34210  2sqr3nconstr  34211  cos9thpiminplylem1  34212  cos9thpiminplylem2  34213  cos9thpiminplylem3  34214  cos9thpiminplylem4  34215  cos9thpiminplylem5  34216  cos9thpiminplylem6  34217  cos9thpiminply  34218  cos9thpinconstrlem2  34220  circlemethhgt  35071  hgt750lemd  35076  hgt750lem  35079  hgt750lem2  35080  hgt750lemb  35084  hgt750lema  35085  hgt750leme  35086  tgoldbachgtde  35088  tgoldbachgtda  35089  tgoldbachgt  35091  cusgracyclt3v  35661  kur14lem8  35718  3exp7  42853  3lexlogpow5ineq1  42854  3lexlogpow2ineq1  42858  3lexlogpow5ineq5  42860  aks4d1p1p7  42874  aks4d1p1p5  42875  aks4d1p1  42876  25or6to4  43006  235t711  43099  ex-decpmul  43100  nicomachus  43106  3cubeslem3l  43450  3cubeslem3r  43451  3cubeslem4  43453  3cubes  43454  jm2.23  43756  jm2.20nn  43757  rmydioph  43774  rmxdioph  43776  expdiophlem2  43782  expdioph  43783  resqrtvalex  44404  amgm3d  44958  lhe4.4ex1a  45072  sin3t  47641  cos3t  47642  sin5tlem1  47643  sin5tlem2  47644  sin5tlem3  47645  sin5tlem4  47646  sin5tlem5  47647  goldratmolem2  47656  8mod5e3  48136  modm2nep1  48142  modm1nep2  48144  fmtno3  48336  fmtno4  48337  fmtno5lem1  48338  fmtno5lem2  48339  fmtno5lem3  48340  fmtno5lem4  48341  fmtno5  48342  257prm  48346  fmtnoprmfac2lem1  48351  fmtno4prmfac  48357  fmtno4prmfac193  48358  fmtno4nprmfac193  48359  fmtno5faclem2  48365  139prmALT  48381  31prm  48382  m5prm  48383  127prm  48384  m11nprm  48386  mod42tp1mod8  48387  ppivalnn4  48412  11t31e341  48530  2exp340mod341  48531  341fppr2  48532  8exp8mod9  48534  nfermltl2rev  48541  tgoldbachlt  48614  tgoldbach  48615  grtriprop  48739  grtriclwlk3  48743  cycl3grtri  48745  usgrexmpl1lem  48819  usgrexmpl2lem  48824  usgrexmpl2nb2  48831  gpg5gricstgr3  48888  gpg5grlim  48891  gpg5grlic  48892  gpgprismgr4cycllem7  48899  gpgprismgr4cycllem10  48902  gpg5edgnedg  48928  zlmodzxzldeplem1  49313  itcoval3  49478  ackval3  49496  ackval0012  49502  ackval1012  49503  ackval2012  49504  ackval3012  49505  ackval40  49506  ackval41a  49507  ackval41  49508  ackval42  49509