Theorem 3nn0 12628

Description: 3 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
3nn0	⊢ 3 ∈ ℕ0

Proof of Theorem 3nn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12426	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
2	1	nnnn0i 12618	1 ⊢ 3 ∈ ℕ0

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  3c3 12402  ℕ₀cn0 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611

This theorem is used by:  7p4e11  12899  7p7e14  12902  8p4e12  12905  8p6e14  12907  9p4e13  12912  9p5e14  12913  4t4e16  12922  5t4e20  12925  6t4e24  12929  6t6e36  12931  7t4e28  12934  7t6e42  12936  8t4e32  12940  8t5e40  12941  9t4e36  12947  9t5e45  12948  9t7e63  12950  9t8e72  12951  3lt10  12961  fz0to3un2pr  13767  4fvwrd4  13786  fldiv4p1lem1div2  13979  expnass  14356  binom3  14372  fac4  14429  4bc2eq6  14477  hash3tr  14640  tpf1o  14650  s3rex  15107  bpoly3  16230  bpoly4  16231  fsumcube  16232  ef4p  16287  efi4p  16311  resin4p  16312  recos4p  16313  ef01bndlem  16358  sin01bnd  16359  sin01gt0  16364  2exp5  17269  2exp6  17270  2exp8  17272  2exp11  17273  2exp16  17274  3exp3  17275  7prm  17294  11prm  17299  13prm  17300  17prm  17301  23prm  17303  prmlem2  17304  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259lem1  17315  1259lem2  17316  1259lem3  17317  1259lem4  17318  1259lem5  17319  1259prm  17320  2503lem1  17321  2503lem2  17322  2503lem3  17323  2503prm  17324  4001lem1  17325  4001lem2  17326  4001lem3  17327  4001lem4  17328  4001prm  17329  dsndxnmulrndx  17568  basendxltunifndx  17575  unifndxntsetndx  17577  slotsdifunifndx  17578  tangtx  26840  1cubrlem  27175  dcubic1lem  27177  dcubic2  27178  dcubic1  27179  dcubic  27180  mcubic  27181  cubic2  27182  cubic  27183  binom4  27184  dquartlem2  27186  quart1cl  27188  quart1lem  27189  quart1  27190  quartlem1  27191  quartlem2  27192  quart  27195  log2ublem1  27280  log2ublem3  27282  log2ub  27283  log2le1  27284  birthday  27288  ppiublem2  27536  bclbnd  27613  bpos1  27616  bposlem8  27624  gausslemma2dlem4  27702  2lgslem3b  27730  2lgslem3d  27732  pntlemd  27927  pntlema  27929  pntlemb  27930  pntlemf  27938  pntlemo  27940  pntlem3  27942  tgcgr4  29000  iscgra  29322  isinag  29363  isleag  29372  elcgrabasi  29381  iseqlg  29418  usgrexmplef  29846  upgr3v3e3cycl  30787  upgr4cycl4dv4e  30792  konigsbergiedgw  30855  konigsberglem1  30859  konigsberglem2  30860  konigsberglem3  30861  konigsberglem4  30862  ex-prmo  31066  threehalves  33528  evl1deg2  34156  evl1deg3  34157  ply1dg3rt0irred  34163  iconstr  34445  2sqr3minply  34459  2sqr3nconstr  34460  cos9thpiminplylem1  34461  cos9thpiminplylem2  34462  cos9thpiminplylem3  34463  cos9thpiminplylem4  34464  cos9thpiminplylem5  34465  cos9thpiminplylem6  34466  cos9thpiminply  34467  cos9thpinconstrlem2  34469  circlemethhgt  35319  hgt750lemd  35324  hgt750lem  35327  hgt750lem2  35328  hgt750lemb  35332  hgt750lema  35333  hgt750leme  35334  tgoldbachgtde  35336  tgoldbachgtda  35337  tgoldbachgt  35339  cusgracyclt3v  35998  kur14lem8  36065  3exp7  43197  3lexlogpow5ineq1  43198  3lexlogpow2ineq1  43202  3lexlogpow5ineq5  43204  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  aks4d1p1  43220  25or6to4  43350  235t711  43456  ex-decpmul  43457  nicomachus  43463  3cubeslem3l  43790  3cubeslem3r  43791  3cubeslem4  43793  3cubes  43794  jm2.23  44097  jm2.20nn  44098  rmydioph  44115  rmxdioph  44117  expdiophlem2  44123  expdioph  44124  resqrtvalex  44739  amgm3d  45293  lhe4.4ex1a  45407  sin3t  48011  cos3t  48012  sin5tlem1  48013  sin5tlem2  48014  sin5tlem3  48015  sin5tlem4  48016  sin5tlem5  48017  goldpolyfactor  48021  goldratmolem2  48027  goldratmolem3  48028  8mod5e3  48530  modm2nep1  48536  modm1nep2  48538  fmtno3  48730  fmtno4  48731  fmtno5lem1  48732  fmtno5lem2  48733  fmtno5lem3  48734  fmtno5lem4  48735  fmtno5  48736  257prm  48740  fmtnoprmfac2lem1  48745  fmtno4prmfac  48751  fmtno4prmfac193  48752  fmtno4nprmfac193  48753  fmtno5faclem2  48759  139prmALT  48775  31prm  48776  m5prm  48777  127prm  48778  m11nprm  48780  mod42tp1mod8  48781  ppivalnn4  48806  11t31e341  48924  2exp340mod341  48925  341fppr2  48926  8exp8mod9  48928  nfermltl2rev  48935  tgoldbachlt  49008  tgoldbach  49009  grtriprop  49133  grtriclwlk3  49137  cycl3grtri  49139  usgrexmpl1lem  49213  usgrexmpl2lem  49218  usgrexmpl2nb2  49225  gpg5gricstgr3  49282  gpg5grlim  49285  gpg5grlic  49286  gpgprismgr4cycllem7  49293  gpgprismgr4cycllem10  49296  gpg5edgnedg  49322  zlmodzxzldeplem1  49706  itcoval3  49871  ackval3  49889  ackval0012  49895  ackval1012  49896  ackval2012  49897  ackval3012  49898  ackval40  49899  ackval41a  49900  ackval41  49901  ackval42  49902