Theorem zneo 12593

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zneo	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Proof of Theorem zneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 12588	. . 3 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		2cn 12237	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		zcn 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		mulcl 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	2, 4, 5	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7		zcn 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		mulcl 11128	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11		1cnd 11145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
12	6, 10, 11	subaddd 11527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 ↔ ((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴)))
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
14	13, 4, 8	subdid 11610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · (𝐴 − 𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)))
15	14	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2))
16		zsubcl 12551	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
17		zcn 12510	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19		2ne0 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
21	18, 13, 20	divcan3d 11939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · (𝐴 − 𝐵)) / 2) = (𝐴 − 𝐵))
22	15, 21	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (𝐴 − 𝐵))
23	22, 16	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ)
24		oveq1 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) = (1 / 2))
25	24	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → ((((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) / 2) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
26	23, 25	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐴) − (2 · 𝐵)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
27	12, 26	sylbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((2 · 𝐵) + 1) = (2 · 𝐴) → (1 / 2) ∈ ℤ))
28	27	necon3bd 2939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ (1 / 2) ∈ ℤ → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴)))
29	1, 28	mpi 20	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((2 · 𝐵) + 1) ≠ (2 · 𝐴))
30	29	necomd 2980	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ≠ ((2 · 𝐵) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  nneo  12594  zeo2  12597  smndex2dnrinv  18818  ablsimpgfindlem1  20015