MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nneo 12702
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12278 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nncnd 12282 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3 2cn 12341 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5 2ne0 12370 . . . . . 6 2 ≠ 0
65a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
72, 4, 6divcan2d 12045 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8 nncn 12274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
98, 4, 6divcan2d 12045 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109oveq1d 7446 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
117, 10eqtr4d 2780 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12 nnz 12634 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13 nnz 12634 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14 zneo 12701 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1615expcom 413 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1716necon2bd 2956 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1811, 17syl5com 31 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
2120eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
2322eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
2421, 23orbi12d 919 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
2625oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
2726eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
2928eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
3027, 29orbi12d 919 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
3231oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
3332eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
3534eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3633, 35orbi12d 919 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
3837oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
3938eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
4140eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
4239, 41orbi12d 919 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43 df-2 12329 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4443oveq1i 7441 . . . . . . 7 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45 2div2e1 12407 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4644, 45eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = 1
47 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltri 2837 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
4948orci 866 . . . 4 (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50 peano2nn 12278 . . . . . . 7 ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51 nncn 12274 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52 add1p1 12517 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
5352oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55 divdir 11947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
563, 54, 55mp3an23 1455 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
5745oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
5856, 57eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
5953, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6051, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6160eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
6250, 61imbitrrid 246 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
6362orim2d 969 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64 orcom 871 . . . . 5 ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6563, 64imbitrdi 251 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 12284 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6766ord 865 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6818, 67impbid 212 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614
This theorem is referenced by:  nneoi  12703  zeo  12704  ovolunlem1a  25531  ovolunlem1  25532  nneop  48447  nnolog2flm1  48511
  Copyright terms: Public domain W3C validator