Theorem nneo 12651

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12216	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3		2cn 12287	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5		2ne0 12318	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan2d 11963	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8		nncn 12212	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8, 4, 6	divcan2d 11963	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
11	7, 10	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12		nnz 12583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13		nnz 12583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14		zneo 12650	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
15	12, 13, 14	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
16	15	expcom 417	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
17	16	necon2bd 2972	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	11, 17	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
20	19	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
23	22	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 929	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
26	25	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
27	26	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
29	28	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
30	27, 29	orbi12d 929	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
32	31	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
33	32	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
35	34	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
36	33, 35	orbi12d 929	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37		oveq1 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
38	37	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
39	38	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40		oveq1 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
41	40	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
42	39, 41	orbi12d 929	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43		df-2 12274	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
44	43	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45		2div2e1 12352	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
46	44, 45	eqtr3i 2786	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
47		1nn 12215	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
49	48	orci 876	. . . 4 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50		peano2nn 12216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51		nncn 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52		add1p1 12466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
53	52	oveq1d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54		2cnne0 12424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55		divdir 11864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
56	3, 54, 55	mp3an23 1473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
57	45	oveq2i 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
58	56, 57	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
59	53, 58	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
60	51, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
61	60	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
62	50, 61	imbitrrid 248	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
63	62	orim2d 979	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64		orcom 881	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65	63, 64	imbitrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
66	24, 30, 36, 42, 49, 65	nnind 12222	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
67	66	ord 875	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
68	18, 67	impbid 214	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   / cdiv 11838  ℕcn 12204  2c2 12266  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563

This theorem is referenced by:  nneoi  12652  zeo  12653  ovolunlem1a  25546  ovolunlem1  25547  nneop  49109  nnolog2flm1  49173