Theorem nneo 12578

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12158	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12162	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3		2cn 12221	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5		2ne0 12250	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan2d 11920	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8		nncn 12154	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8, 4, 6	divcan2d 11920	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
11	7, 10	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12		nnz 12510	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13		nnz 12510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14		zneo 12577	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
15	12, 13, 14	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
16	15	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
17	16	necon2bd 2941	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	11, 17	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
20	19	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
23	22	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
26	25	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
27	26	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
29	28	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
30	27, 29	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
32	31	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
33	32	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
35	34	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
36	33, 35	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37		oveq1 7360	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
38	37	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
39	38	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
41	40	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
42	39, 41	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43		df-2 12209	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
44	43	oveq1i 7363	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45		2div2e1 12282	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
46	44, 45	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
47		1nn 12157	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
49	48	orci 865	. . . 4 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50		peano2nn 12158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51		nncn 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52		add1p1 12393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
53	52	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54		2cnne0 12351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55		divdir 11822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
56	3, 54, 55	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
57	45	oveq2i 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
58	56, 57	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
59	53, 58	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
60	51, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
61	60	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
62	50, 61	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
63	62	orim2d 968	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65	63, 64	imbitrdi 251	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
66	24, 30, 36, 42, 49, 65	nnind 12164	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
67	66	ord 864	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
68	18, 67	impbid 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490

This theorem is referenced by:  nneoi  12579  zeo  12580  ovolunlem1a  25413  ovolunlem1  25414  nneop  48515  nnolog2flm1  48579