MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nneo 12588
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem nneo
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12166 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„•)
21nncnd 12170 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
3 2cn 12229 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5 2ne0 12258 . . . . . 6 2 โ‰  0
65a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
72, 4, 6divcan2d 11934 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = (๐‘ + 1))
8 nncn 12162 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
98, 4, 6divcan2d 11934 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท (๐‘ / 2)) = ๐‘)
109oveq1d 7373 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1) = (๐‘ + 1))
117, 10eqtr4d 2780 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1))
12 nnz 12521 . . . . . 6 (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
13 nnz 12521 . . . . . 6 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค)
14 zneo 12587 . . . . . 6 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โ‰  ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1))
1512, 13, 14syl2an 597 . . . . 5 ((((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โ‰  ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1))
1615expcom 415 . . . 4 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) โ‰  ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1)))
1716necon2bd 2960 . . 3 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ((๐‘ + 1) / 2)) = ((2 ยท (๐‘ / 2)) + 1) โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
1811, 17syl5com 31 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
19 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— + 1) = (1 + 1))
2019oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = 1 โ†’ ((๐‘— + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
2120eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ (((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((1 + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
22 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— / 2) = (1 / 2))
2322eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = 1 โ†’ ((๐‘— / 2) โˆˆ โ„• โ†” (1 / 2) โˆˆ โ„•))
2421, 23orbi12d 918 . . . 4 (๐‘— = 1 โ†’ ((((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘— / 2) โˆˆ โ„•) โ†” (((1 + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (1 / 2) โˆˆ โ„•)))
25 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘˜ + 1))
2625oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— + 1) / 2) = ((๐‘˜ + 1) / 2))
2726eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
28 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— / 2) = (๐‘˜ / 2))
2928eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘— / 2) โˆˆ โ„• โ†” (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„•))
3027, 29orbi12d 918 . . . 4 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ ((((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘— / 2) โˆˆ โ„•) โ†” (((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„•)))
31 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— + 1) = ((๐‘˜ + 1) + 1))
3231oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘— + 1) / 2) = (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2))
3332eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
34 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘— / 2) = ((๐‘˜ + 1) / 2))
3534eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((๐‘— / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
3633, 35orbi12d 918 . . . 4 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘— / 2) โˆˆ โ„•) โ†” ((((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„•)))
37 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— + 1) = (๐‘ + 1))
3837oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘— + 1) / 2) = ((๐‘ + 1) / 2))
3938eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
40 oveq1 7365 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐‘— / 2) = (๐‘ / 2))
4140eleq1d 2823 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((๐‘— / 2) โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•))
4239, 41orbi12d 918 . . . 4 (๐‘— = ๐‘ โ†’ ((((๐‘— + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘— / 2) โˆˆ โ„•) โ†” (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•)))
43 df-2 12217 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4443oveq1i 7368 . . . . . . 7 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45 2div2e1 12295 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4644, 45eqtr3i 2767 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = 1
47 1nn 12165 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„•
4846, 47eqeltri 2834 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) โˆˆ โ„•
4948orci 864 . . . 4 (((1 + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (1 / 2) โˆˆ โ„•)
50 peano2nn 12166 . . . . . . 7 ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ / 2) + 1) โˆˆ โ„•)
51 nncn 12162 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
52 add1p1 12405 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ + 1) + 1) = (๐‘˜ + 2))
5352oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) = ((๐‘˜ + 2) / 2))
54 2cnne0 12364 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
55 divdir 11839 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ ((๐‘˜ + 2) / 2) = ((๐‘˜ / 2) + (2 / 2)))
563, 54, 55mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ + 2) / 2) = ((๐‘˜ / 2) + (2 / 2)))
5745oveq2i 7369 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ / 2) + (2 / 2)) = ((๐‘˜ / 2) + 1)
5856, 57eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐‘˜ + 2) / 2) = ((๐‘˜ / 2) + 1))
5953, 58eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) = ((๐‘˜ / 2) + 1))
6051, 59syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) = ((๐‘˜ / 2) + 1))
6160eleq1d 2823 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐‘˜ / 2) + 1) โˆˆ โ„•))
6250, 61syl5ibr 246 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
6362orim2d 966 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„•)))
64 orcom 869 . . . . 5 ((((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„•) โ†” ((((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
6563, 64syl6ib 251 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘˜ + 1) + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ ((๐‘˜ + 1) / 2) โˆˆ โ„•)))
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 12172 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•))
6766ord 863 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•))
6818, 67impbid 211 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„• โ†” ยฌ ((๐‘ + 1) / 2) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  โ„คcz 12500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501
This theorem is referenced by:  nneoi  12589  zeo  12590  ovolunlem1a  24863  ovolunlem1  24864  nneop  46619  nnolog2flm1  46683
  Copyright terms: Public domain W3C validator