MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nneo 12587
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12165 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nncnd 12169 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3 2cn 12228 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5 2ne0 12257 . . . . . 6 2 ≠ 0
65a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
72, 4, 6divcan2d 11933 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8 nncn 12161 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
98, 4, 6divcan2d 11933 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109oveq1d 7372 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
117, 10eqtr4d 2779 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12 nnz 12520 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13 nnz 12520 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14 zneo 12586 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1512, 13, 14syl2an 596 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1615expcom 414 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1716necon2bd 2959 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1811, 17syl5com 31 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2019oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
2120eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
2322eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
2421, 23orbi12d 917 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
2625oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
2726eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
2928eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
3027, 29orbi12d 917 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
3231oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
3332eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
3534eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3633, 35orbi12d 917 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
3837oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
3938eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
4140eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
4239, 41orbi12d 917 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43 df-2 12216 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4443oveq1i 7367 . . . . . . 7 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45 2div2e1 12294 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4644, 45eqtr3i 2766 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = 1
47 1nn 12164 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltri 2834 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
4948orci 863 . . . 4 (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50 peano2nn 12165 . . . . . . 7 ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51 nncn 12161 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52 add1p1 12404 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
5352oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54 2cnne0 12363 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55 divdir 11838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
563, 54, 55mp3an23 1453 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
5745oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
5856, 57eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
5953, 58eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6051, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6160eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
6250, 61syl5ibr 245 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
6362orim2d 965 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64 orcom 868 . . . . 5 ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6563, 64syl6ib 250 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 12171 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6766ord 862 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6818, 67impbid 211 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500
This theorem is referenced by:  nneoi  12588  zeo  12589  ovolunlem1a  24860  ovolunlem1  24861  nneop  46602  nnolog2flm1  46666
  Copyright terms: Public domain W3C validator