Theorem nneo 12691

Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneo	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
3		2cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5		2ne0 12358	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
7	2, 4, 6	divcan2d 12004	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
8		nncn 12252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8, 4, 6	divcan2d 12004	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
11	7, 10	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12		nnz 12623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13		nnz 12623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14		zneo 12690	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
16	15	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
17	16	necon2bd 2976	. . 3 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18	11, 17	syl5com 32	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
20	19	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
21	20	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
23	22	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
24	21, 23	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
26	25	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
27	26	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
29	28	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
30	27, 29	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
32	31	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
33	32	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
35	34	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
36	33, 35	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
38	37	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
39	38	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
41	40	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
42	39, 41	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43		df-2 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
44	43	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45		2div2e1 12392	. . . . . . 7 ⊢ (2 / 2) = 1
46	44, 45	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ ((1 + 1) / 2) = 1
47		1nn 12255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
48	46, 47	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
49	48	orci 879	. . . 4 ⊢ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50		peano2nn 12256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51		nncn 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52		add1p1 12506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
53	52	oveq1d 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54		2cnne0 12464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55		divdir 11908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
56	3, 54, 55	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
57	45	oveq2i 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
58	56, 57	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
59	53, 58	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
60	51, 59	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
61	60	eleq1d 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
62	50, 61	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
63	62	orim2d 982	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64		orcom 884	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
65	63, 64	imbitrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
66	24, 30, 36, 42, 49, 65	nnind 12262	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
67	66	ord 878	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
68	18, 67	impbid 215	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℤcz 12602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603

This theorem is used by:  nneoi  12692  zeo  12693  ovolunlem1a  25684  ovolunlem1  25685  nneop  49339  nnolog2flm1  49403