MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex2dnrinv 18792
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . 3 ((𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
21ralbii 3093 . 2 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4efmndbasf 18752 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
6 1nn0 12484 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
7 nn0z 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„€)
9 zneo 12641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
11 2t0e0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· 0) = 0
1211oveq1i 7415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  1)
1716necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 1 β‰  (2 Β· π‘₯))
1817neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ 1 = (2 Β· π‘₯))
1918nrex 3074 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)
20 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ 1 = (2 Β· π‘₯)))
2221rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)))
2320, 22elab 3667 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯))
2419, 23mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
25 nelss 4046 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}) β†’ Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
266, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . . . 10 Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
2726intnan 487 . . . . . . . . 9 Β¬ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
28 eqss 3996 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0 ↔ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}))
2927, 28mtbir 322 . . . . . . . 8 Β¬ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
3130rnmpt 5952 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
3231eqeq1i 2737 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = β„•0 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0)
3329, 32mtbir 322 . . . . . . 7 Β¬ ran 𝐷 = β„•0
3433olci 864 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0)
35 ianor 980 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0) ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
36 df-fo 6546 . . . . . . 7 (𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0))
3735, 36xchnxbir 332 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
3834, 37mpbir 230 . . . . 5 Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘€)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18791 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
423, 4efmndbasf 18752 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
43 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
44 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
4544adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
46 nn0ex 12474 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
473efmndid 18765 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
4940, 48eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I β†Ύ β„•0)
5049eqeq2i 2745 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
54 fcofo 7282 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0)) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5655ex 413 . . . . 5 (𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5839, 57mtand 814 . . 3 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3068 1 βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  Basecbs 17140  0gc0g 17381  EndoFMndcefmnd 18745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-0g 17383  df-efmnd 18746
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator