Theorem smndex2dnrinv 18842

Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dnrinv	⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2926	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
2	1	ralbii 3075	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	efmndbasf 18802	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6		1nn0 12458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0z 12554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		0zd 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zneo 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11		2t0e0 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13		0p1e1 12303	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
16	10, 15	neeqtrd 2994	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
17	16	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
18	17	neneqd 2930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
19	18	nrex 3057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20		1ex 11170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	21	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
23	20, 22	elab 3646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
24	19, 23	mtbir 323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25		nelss 4012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
26	6, 24, 25	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
27	26	intnan 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28		eqss 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
29	27, 28	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30		smndex2dbas.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
31	30	rnmpt 5921	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
32	31	eqeq1i 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
33	29, 32	mtbir 323	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ran 𝐷 = ℕ0
34	33	olci 866	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35		ianor 983	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36		df-fo 6517	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
37	35, 36	xchnxbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
38	34, 37	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
40		smndex2dbas.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
41	3, 4, 40, 30	smndex2dbas 18841	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
42	3, 4	efmndbasf 18802	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
45	44	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46		nn0ex 12448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 ∈ V
47	3	efmndid 18815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
49	40, 48	eqtr4i 2755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = ( I ↾ ℕ0)
50	49	eqeq2i 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
51	50	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
53	52	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
54		fcofo 7263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
55	43, 45, 53, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
56	55	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0))
57	41, 42, 56	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
58	39, 57	mtand 815	. . 3 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
59	5, 58	syl 17	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
60	2, 59	mprgbir 3051	1 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188   I cid 5532  ran crn 5639   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  2c2 12241  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  EndoFMndcefmnd 18795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-efmnd 18796

This theorem is referenced by: (None)