MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex2dnrinv 18833
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2940 . . 3 ((𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
21ralbii 3092 . 2 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4efmndbasf 18793 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
6 1nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
7 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 0zd 12575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„€)
9 zneo 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
11 2t0e0 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· 0) = 0
1211oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  1)
1716necomd 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 1 β‰  (2 Β· π‘₯))
1817neneqd 2944 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ 1 = (2 Β· π‘₯))
1918nrex 3073 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)
20 1ex 11215 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ 1 = (2 Β· π‘₯)))
2221rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)))
2320, 22elab 3669 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯))
2419, 23mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
25 nelss 4048 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}) β†’ Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
266, 24, 25mp2an 689 . . . . . . . . . 10 Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
2726intnan 486 . . . . . . . . 9 Β¬ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
28 eqss 3998 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0 ↔ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}))
2927, 28mtbir 322 . . . . . . . 8 Β¬ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
3130rnmpt 5955 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
3231eqeq1i 2736 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = β„•0 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0)
3329, 32mtbir 322 . . . . . . 7 Β¬ ran 𝐷 = β„•0
3433olci 863 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0)
35 ianor 979 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0) ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
36 df-fo 6550 . . . . . . 7 (𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0))
3735, 36xchnxbir 332 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
3834, 37mpbir 230 . . . . 5 Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘€)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18832 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
423, 4efmndbasf 18793 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
43 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
44 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
4544adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
46 nn0ex 12483 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
473efmndid 18806 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
4940, 48eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I β†Ύ β„•0)
5049eqeq2i 2744 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5251adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
54 fcofo 7289 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0)) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5655ex 412 . . . . 5 (𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5839, 57mtand 813 . . 3 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3067 1 βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  2c2 12272  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  Basecbs 17149  0gc0g 17390  EndoFMndcefmnd 18786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-0g 17392  df-efmnd 18787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator