Theorem smndex2dnrinv 19107

Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dnrinv	⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2957	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
2	1	ralbii 3109	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	efmndbasf 19064	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6		1nn0 12615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0z 12710	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		0zd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zneo 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11		2t0e0 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	oveq1i 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13		0p1e1 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
16	10, 15	neeqtrd 3025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
17	16	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
18	17	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
19	18	nrex 3091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20		1ex 11296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	21	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
23	20, 22	elab 3633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
24	19, 23	mtbir 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25		nelss 3997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
26	6, 24, 25	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
27	26	intnan 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28		eqss 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
29	27, 28	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30		smndex2dbas.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
31	30	rnmpt 5939	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
32	31	eqeq1i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
33	29, 32	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ran 𝐷 = ℕ0
34	33	olci 880	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36		df-fo 6543	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
37	35, 36	xchnxbir 336	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
38	34, 37	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
40		smndex2dbas.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
41	3, 4, 40, 30	smndex2dbas 19106	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
42	3, 4	efmndbasf 19064	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
45	44	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46		nn0ex 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
47	3	efmndid 19077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
49	40, 48	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = ( I ↾ ℕ0)
50	49	eqeq2i 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
51	50	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
52	51	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
53		fcofo 7294	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
54	43, 45, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0))
56	41, 42, 55	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
57	39, 56	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
58	5, 57	syl 18	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
59	2, 58	mprgbir 3084	1 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  2c2 12390  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  Basecbs 17380  0_gc0g 17603  EndoFMndcefmnd 19057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-tset 17440  df-0g 17605  df-efmnd 19058

This theorem is used by: (None)