MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dnrinv 18189
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2935 . . 3 ((𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
21ralbii 3080 . 2 (∀𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓𝐵 ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 4efmndbasf 18149 . . 3 (𝑓𝐵𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6 1nn0 11985 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
7 nn0z 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 0zd 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9 zneo 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11 2t0e0 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 0) = 0
1211oveq1i 7174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
1716necomd 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
1817neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1918nrex 3178 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20 1ex 10708 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2221rexbidv 3206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
2320, 22elab 3571 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
2419, 23mtbir 326 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25 nelss 3938 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
266, 24, 25mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
2726intnan 490 . . . . . . . . 9 ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28 eqss 3890 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
2927, 28mtbir 326 . . . . . . . 8 ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
3130rnmpt 5792 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
3231eqeq1i 2743 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
3329, 32mtbir 326 . . . . . . 7 ¬ ran 𝐷 = ℕ0
3433olci 865 . . . . . 6 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35 ianor 981 . . . . . . 7 (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36 df-fo 6339 . . . . . . 7 (𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
3735, 36xchnxbir 336 . . . . . 6 𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
3834, 37mpbir 234 . . . . 5 ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑀)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18188 . . . . 5 𝐷𝐵
423, 4efmndbasf 18149 . . . . 5 (𝐷𝐵𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44 simpl 486 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
4544adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46 nn0ex 11975 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
473efmndid 18162 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
4940, 48eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I ↾ ℕ0)
5049eqeq2i 2751 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑓) = 0 ↔ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5150biimpi 219 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑓) = 0 → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5251adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5352adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
54 fcofo 7049 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5655ex 416 . . . . 5 (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5839, 57mtand 816 . . 3 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓𝐵 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3068 1 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  {cab 2716  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  Vcvv 3397  wss 3841  cmpt 5107   I cid 5424  ran crn 5520  cres 5521  ccom 5523   Fn wfn 6328  wf 6329  ontowfo 6331  cfv 6333  (class class class)co 7164  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  2c2 11764  0cn0 11969  cz 12055  Basecbs 16579  0gc0g 16809  EndoFMndcefmnd 18142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-tset 16680  df-0g 16811  df-efmnd 18143
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator