MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dnrinv 18725
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2944 . . 3 ((𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
21ralbii 3096 . 2 (∀𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓𝐵 ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 4efmndbasf 18685 . . 3 (𝑓𝐵𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6 1nn0 12429 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
7 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9 zneo 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11 2t0e0 12322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 0) = 0
1211oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
1716necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
1817neneqd 2948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1918nrex 3077 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20 1ex 11151 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2221rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
2320, 22elab 3630 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
2419, 23mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25 nelss 4007 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
266, 24, 25mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
2726intnan 487 . . . . . . . . 9 ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28 eqss 3959 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
2927, 28mtbir 322 . . . . . . . 8 ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
3130rnmpt 5910 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
3231eqeq1i 2741 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
3329, 32mtbir 322 . . . . . . 7 ¬ ran 𝐷 = ℕ0
3433olci 864 . . . . . 6 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35 ianor 980 . . . . . . 7 (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36 df-fo 6502 . . . . . . 7 (𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
3735, 36xchnxbir 332 . . . . . 6 𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
3834, 37mpbir 230 . . . . 5 ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑀)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18724 . . . . 5 𝐷𝐵
423, 4efmndbasf 18685 . . . . 5 (𝐷𝐵𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
4544adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46 nn0ex 12419 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
473efmndid 18698 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
4940, 48eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I ↾ ℕ0)
5049eqeq2i 2749 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑓) = 0 ↔ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑓) = 0 → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5251adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
54 fcofo 7234 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5655ex 413 . . . . 5 (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5839, 57mtand 814 . . 3 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓𝐵 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3071 1 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  cmpt 5188   I cid 5530  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  Basecbs 17083  0gc0g 17321  EndoFMndcefmnd 18678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-tset 17152  df-0g 17323  df-efmnd 18679
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator