Theorem smndex2dnrinv 18972

Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dnrinv	⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2959	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
2	1	ralbii 3111	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	efmndbasf 18929	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6		1nn0 12515	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0z 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		0zd 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zneo 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
10	7, 8, 9	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11		2t0e0 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13		0p1e1 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
16	10, 15	neeqtrd 3027	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
17	16	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
18	17	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
19	18	nrex 3093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20		1ex 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	21	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
23	20, 22	elab 3638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
24	19, 23	mtbir 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25		nelss 4003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
26	6, 24, 25	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
27	26	intnan 491	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28		eqss 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
29	27, 28	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30		smndex2dbas.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
31	30	rnmpt 5947	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
32	31	eqeq1i 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
33	29, 32	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ran 𝐷 = ℕ0
34	33	olci 879	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36		df-fo 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
37	35, 36	xchnxbir 336	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
38	34, 37	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
40		smndex2dbas.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
41	3, 4, 40, 30	smndex2dbas 18971	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
42	3, 4	efmndbasf 18929	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
45	44	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46		nn0ex 12505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
47	3	efmndid 18942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
49	40, 48	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = ( I ↾ ℕ0)
50	49	eqeq2i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
51	50	bilani 509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
52	51	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
53		fcofo 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
54	43, 45, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
55	54	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0))
56	41, 42, 55	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
57	39, 56	mtand 827	. . 3 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
58	5, 57	syl 18	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
59	2, 58	mprgbir 3086	1 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cab 2741   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905   ↦ cmpt 5192   I cid 5555  ran crn 5662   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  EndoFMndcefmnd 18922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-tset 17324  df-0g 17489  df-efmnd 18923

This theorem is referenced by: (None)