MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dnrinv 18726
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0

Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2945 . . 3 ((𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
21ralbii 3097 . 2 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4efmndbasf 18686 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
6 1nn0 12430 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
7 nn0z 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 0zd 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„€)
9 zneo 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
11 2t0e0 12323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· 0) = 0
1211oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  1)
1716necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 1 β‰  (2 Β· π‘₯))
1817neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ 1 = (2 Β· π‘₯))
1918nrex 3078 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)
20 1ex 11152 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ 1 = (2 Β· π‘₯)))
2221rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)))
2320, 22elab 3631 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯))
2419, 23mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
25 nelss 4008 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}) β†’ Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
266, 24, 25mp2an 691 . . . . . . . . . 10 Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
2726intnan 488 . . . . . . . . 9 Β¬ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
28 eqss 3960 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0 ↔ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}))
2927, 28mtbir 323 . . . . . . . 8 Β¬ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
3130rnmpt 5911 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
3231eqeq1i 2742 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = β„•0 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0)
3329, 32mtbir 323 . . . . . . 7 Β¬ ran 𝐷 = β„•0
3433olci 865 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0)
35 ianor 981 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0) ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
36 df-fo 6503 . . . . . . 7 (𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0))
3735, 36xchnxbir 333 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
3834, 37mpbir 230 . . . . 5 Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘€)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18725 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
423, 4efmndbasf 18686 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
43 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
44 simpl 484 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
4544adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
46 nn0ex 12420 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
473efmndid 18699 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
4940, 48eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I β†Ύ β„•0)
5049eqeq2i 2750 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5251adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5352adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
54 fcofo 7235 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0)) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5655ex 414 . . . . 5 (𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5839, 57mtand 815 . . 3 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3072 1 βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   Β· cmul 11057  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  Basecbs 17084  0gc0g 17322  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-0g 17324  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator