Theorem smndex2dnrinv 18877

Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dnrinv	⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2935	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
2	1	ralbii 3085	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	efmndbasf 18834	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6		1nn0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0z 12539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		0zd 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zneo 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
10	7, 8, 9	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11		2t0e0 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13		0p1e1 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
16	10, 15	neeqtrd 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
17	16	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
18	17	neneqd 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
19	18	nrex 3067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20		1ex 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	21	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
23	20, 22	elab 3617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
24	19, 23	mtbir 324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25		nelss 3980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
26	6, 24, 25	mp2an 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
27	26	intnan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28		eqss 3930	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
29	27, 28	mtbir 324	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30		smndex2dbas.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
31	30	rnmpt 5899	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
32	31	eqeq1i 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
33	29, 32	mtbir 324	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ran 𝐷 = ℕ0
34	33	olci 872	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35		ianor 989	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36		df-fo 6491	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
37	35, 36	xchnxbir 334	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
38	34, 37	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
40		smndex2dbas.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
41	3, 4, 40, 30	smndex2dbas 18876	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
42	3, 4	efmndbasf 18834	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
45	44	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46		nn0ex 12434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
47	3	efmndid 18847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
49	40, 48	eqtr4i 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = ( I ↾ ℕ0)
50	49	eqeq2i 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
51	50	bilani 505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
52	51	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
53		fcofo 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
54	43, 45, 52, 53	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
55	54	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0))
56	41, 42, 55	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
57	39, 56	mtand 821	. . 3 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
58	5, 57	syl 17	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
59	2, 58	mprgbir 3060	1 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {cab 2717   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153   I cid 5512  ran crn 5619   ↾ cres 5620   ∘ ccom 5622   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  –onto→wfo 6483  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  EndoFMndcefmnd 18827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-efmnd 18828

This theorem is referenced by: (None)