Theorem smndex2dnrinv 19001

Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on ℕ₀. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex2dbas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
smndex2dbas.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
smndex2dnrinv	⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2961	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
2	1	ralbii 3113	. 2 ⊢ (∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓 ∈ 𝐵 ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3		smndex2dbas.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4		smndex2dbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5	3, 4	efmndbasf 18958	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6		1nn0 12531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		nn0z 12626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
8		0zd 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9		zneo 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
10	7, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11		2t0e0 12422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · 0) = 0
12	11	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13		0p1e1 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
14	12, 13	eqtri 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 0) + 1) = 1
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
16	10, 15	neeqtrd 3029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
17	16	necomd 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
18	17	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
19	18	nrex 3095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20		1ex 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ V
21		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
22	21	rexbidv 3191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
23	20, 22	elab 3640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
24	19, 23	mtbir 326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25		nelss 4004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
26	6, 24, 25	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
27	26	intnan 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28		eqss 3953	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
29	27, 28	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30		smndex2dbas.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
31	30	rnmpt 5949	. . . . . . . . 9 ⊢ ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
32	31	eqeq1i 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
33	29, 32	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ran 𝐷 = ℕ0
34	33	olci 880	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35		ianor 997	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36		df-fo 6546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
37	35, 36	xchnxbir 336	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
38	34, 37	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
40		smndex2dbas.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
41	3, 4, 40, 30	smndex2dbas 19000	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ 𝐵
42	3, 4	efmndbasf 18958	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ 𝐵 → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
45	44	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46		nn0ex 12521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 ∈ V
47	3	efmndid 18971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀))
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( I ↾ ℕ0) = (0g‘𝑀)
49	40, 48	eqtr4i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = ( I ↾ ℕ0)
50	49	eqeq2i 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
51	50	bilani 510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
52	51	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
53		fcofo 7292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ 𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
54	43, 45, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
55	54	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0))
56	41, 42, 55	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0–onto→ℕ0)
57	39, 56	mtand 828	. . 3 ⊢ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
58	5, 57	syl 18	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
59	2, 58	mprgbir 3088	1 ⊢ ∀𝑓 ∈ 𝐵 (𝐷 ∘ 𝑓) ≠ 0

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194   I cid 5557  ran crn 5664   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  Basecbs 17287  0_gc0g 17510  EndoFMndcefmnd 18951

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-plusg 17341  df-tset 17347  df-0g 17512  df-efmnd 18952

This theorem is used by: (None)