MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndex2dnrinv 18928
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on 0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex2dbas.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
smndex2dbas.0 0 = (0g𝑀)
smndex2dbas.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0

Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2941 . . 3 ((𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
21ralbii 3093 . 2 (∀𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0 ↔ ∀𝑓𝐵 ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
53, 4efmndbasf 18888 . . 3 (𝑓𝐵𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
6 1nn0 12542 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
7 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
8 0zd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
9 zneo 12701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ ((2 · 0) + 1))
11 2t0e0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 0) = 0
1211oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((2 · 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑥) ≠ 1)
1716necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℕ0 → 1 ≠ (2 · 𝑥))
1817neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ0 → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1918nrex 3074 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)
20 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 → (𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2221rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥)))
2320, 22elab 3679 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ0 1 = (2 · 𝑥))
2419, 23mtbir 323 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
25 nelss 4049 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}) → ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
266, 24, 25mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ¬ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
2726intnan 486 . . . . . . . . 9 ¬ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)})
28 eqss 3999 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0 ↔ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}))
2927, 28mtbir 323 . . . . . . . 8 ¬ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (2 · 𝑥))
3130rnmpt 5968 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)}
3231eqeq1i 2742 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = ℕ0 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ ℕ0 𝑦 = (2 · 𝑥)} = ℕ0)
3329, 32mtbir 323 . . . . . . 7 ¬ ran 𝐷 = ℕ0
3433olci 867 . . . . . 6 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0)
35 ianor 984 . . . . . . 7 (¬ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0) ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
36 df-fo 6567 . . . . . . 7 (𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (𝐷 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐷 = ℕ0))
3735, 36xchnxbir 333 . . . . . 6 𝐷:ℕ0onto→ℕ0 ↔ (¬ 𝐷 Fn ℕ0 ∨ ¬ ran 𝐷 = ℕ0))
3834, 37mpbir 231 . . . . 5 ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑀)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18927 . . . . 5 𝐷𝐵
423, 4efmndbasf 18888 . . . . 5 (𝐷𝐵𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
43 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0⟶ℕ0)
44 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
4544adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝑓:ℕ0⟶ℕ0)
46 nn0ex 12532 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
473efmndid 18901 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ0 ∈ V → ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I ↾ ℕ0) = (0g𝑀)
4940, 48eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I ↾ ℕ0)
5049eqeq2i 2750 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝑓) = 0 ↔ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5150biimpi 216 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑓) = 0 → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5251adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
5352adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0))
54 fcofo 7308 . . . . . . 7 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = ( I ↾ ℕ0)) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝐷:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 )) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5655ex 412 . . . . 5 (𝐷:ℕ0⟶ℕ0 → ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:ℕ0⟶ℕ0 ∧ (𝐷𝑓) = 0 ) → 𝐷:ℕ0onto→ℕ0)
5839, 57mtand 816 . . 3 (𝑓:ℕ0⟶ℕ0 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓𝐵 → ¬ (𝐷𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3068 1 𝑓𝐵 (𝐷𝑓) ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  cmpt 5225   I cid 5577  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  ontowfo 6559  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  Basecbs 17247  0gc0g 17484  EndoFMndcefmnd 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-0g 17486  df-efmnd 18882
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator