MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndex2dnrinv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndex2dnrinv 18832
Description: The doubling function 𝐷 has no right inverse in the monoid of endofunctions on β„•0. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smndex2dbas.m 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
smndex2dbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
smndex2dbas.0 0 = (0gβ€˜π‘€)
smndex2dbas.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
Assertion
Ref Expression
smndex2dnrinv βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Proof of Theorem smndex2dnrinv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2939 . . 3 ((𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
21ralbii 3091 . 2 (βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0 ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
3 smndex2dbas.m . . . 4 𝑀 = (EndoFMndβ€˜β„•0)
4 smndex2dbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4efmndbasf 18792 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
6 1nn0 12492 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•0
7 nn0z 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ π‘₯ ∈ β„€)
8 0zd 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„€)
9 zneo 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
107, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  ((2 Β· 0) + 1))
11 2t0e0 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· 0) = 0
1211oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 0) + 1) = (0 + 1)
13 0p1e1 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 1) = 1
1412, 13eqtri 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 0) + 1) = 1
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ ((2 Β· 0) + 1) = 1)
1610, 15neeqtrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ (2 Β· π‘₯) β‰  1)
1716necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ 1 β‰  (2 Β· π‘₯))
1817neneqd 2943 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„•0 β†’ Β¬ 1 = (2 Β· π‘₯))
1918nrex 3072 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)
20 1ex 11214 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
21 eqeq1 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 1 β†’ (𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ 1 = (2 Β· π‘₯)))
2221rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 1 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯)))
2320, 22elab 3667 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 1 = (2 Β· π‘₯))
2419, 23mtbir 322 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
25 nelss 4046 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ β„•0 ∧ Β¬ 1 ∈ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}) β†’ Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
266, 24, 25mp2an 688 . . . . . . . . . 10 Β¬ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
2726intnan 485 . . . . . . . . 9 Β¬ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)})
28 eqss 3996 . . . . . . . . 9 ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0 ↔ ({𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} βŠ† β„•0 ∧ β„•0 βŠ† {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}))
2927, 28mtbir 322 . . . . . . . 8 Β¬ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0
30 smndex2dbas.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (2 Β· π‘₯))
3130rnmpt 5953 . . . . . . . . 9 ran 𝐷 = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)}
3231eqeq1i 2735 . . . . . . . 8 (ran 𝐷 = β„•0 ↔ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘₯ ∈ β„•0 𝑦 = (2 Β· π‘₯)} = β„•0)
3329, 32mtbir 322 . . . . . . 7 Β¬ ran 𝐷 = β„•0
3433olci 862 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0)
35 ianor 978 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0) ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
36 df-fo 6548 . . . . . . 7 (𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (𝐷 Fn β„•0 ∧ ran 𝐷 = β„•0))
3735, 36xchnxbir 332 . . . . . 6 (Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0 ↔ (Β¬ 𝐷 Fn β„•0 ∨ Β¬ ran 𝐷 = β„•0))
3834, 37mpbir 230 . . . . 5 Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0
3938a1i 11 . . . 4 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
40 smndex2dbas.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘€)
413, 4, 40, 30smndex2dbas 18831 . . . . 5 𝐷 ∈ 𝐡
423, 4efmndbasf 18792 . . . . 5 (𝐷 ∈ 𝐡 β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
43 simpl 481 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0βŸΆβ„•0)
44 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
4544adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0)
46 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 ∈ V
473efmndid 18805 . . . . . . . . . . . . 13 (β„•0 ∈ V β†’ ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ( I β†Ύ β„•0) = (0gβ€˜π‘€)
4940, 48eqtr4i 2761 . . . . . . . . . . 11 0 = ( I β†Ύ β„•0)
5049eqeq2i 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ↔ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5150biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∘ 𝑓) = 0 β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5251adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
5352adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0))
54 fcofo 7288 . . . . . . 7 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ 𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = ( I β†Ύ β„•0)) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5543, 45, 53, 54syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5655ex 411 . . . . 5 (𝐷:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0))
5741, 42, 56mp2b 10 . . . 4 ((𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 ∧ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 ) β†’ 𝐷:β„•0–ontoβ†’β„•0)
5839, 57mtand 812 . . 3 (𝑓:β„•0βŸΆβ„•0 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
595, 58syl 17 . 2 (𝑓 ∈ 𝐡 β†’ Β¬ (𝐷 ∘ 𝑓) = 0 )
602, 59mprgbir 3066 1 βˆ€π‘“ ∈ 𝐡 (𝐷 ∘ 𝑓) β‰  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  Basecbs 17148  0gc0g 17389  EndoFMndcefmnd 18785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-0g 17391  df-efmnd 18786
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator