MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpropd 20974
Description: The ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
zrhpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
zrhpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
zrhpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
zrhpropd (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem zrhpropd
StepHypRef Expression
1 eqidd 2732 . . . 4 (𝜑 → (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring))
2 zrhpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
3 zrhpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
4 eqidd 2732 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(+g‘ℤring)𝑦) = (𝑥(+g‘ℤring)𝑦))
5 zrhpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
6 eqidd 2732 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(.r‘ℤring)𝑦) = (𝑥(.r‘ℤring)𝑦))
7 zrhpropd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
81, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7rhmpropd 20330 . . 3 (𝜑 → (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
98unieqd 4906 . 2 (𝜑 (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
10 eqid 2731 . . 3 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
1110zrhval 20967 . 2 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤring RingHom 𝐾)
12 eqid 2731 . . 3 (ℤRHom‘𝐿) = (ℤRHom‘𝐿)
1312zrhval 20967 . 2 (ℤRHom‘𝐿) = (ℤring RingHom 𝐿)
149, 11, 133eqtr4g 2796 1 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   cuni 4892  cfv 6523  (class class class)co 7384  Basecbs 17116  +gcplusg 17169  .rcmulr 17170   RingHom crh 20181  ringczring 20928  ℤRHomczrh 20959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-om 7830  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8677  df-map 8796  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-sets 17069  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-plusg 17182  df-0g 17359  df-mgm 18533  df-sgrp 18582  df-mnd 18593  df-mhm 18637  df-grp 18787  df-ghm 19042  df-mgp 19933  df-ur 19950  df-ring 20002  df-rnghom 20184  df-zrh 20963
This theorem is referenced by:  znzrh  21008
  Copyright terms: Public domain W3C validator