Theorem zrhpropd 21568

Description: The ℤ ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
zrhpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
zrhpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
zrhpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
zrhpropd	⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem zrhpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring))
2		zrhpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
3		zrhpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
4		eqidd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(+g‘ℤring)𝑦) = (𝑥(+g‘ℤring)𝑦))
5		zrhpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
6		eqidd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(.r‘ℤring)𝑦) = (𝑥(.r‘ℤring)𝑦))
7		zrhpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7	rhmpropd 20661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
9	8	unieqd 4880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ (ℤring RingHom 𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿))
10		eqid 2764	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
11	10	zrhval 21561	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = ∪ (ℤring RingHom 𝐾)
12		eqid 2764	. . 3 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = (ℤRHom‘𝐿)
13	12	zrhval 21561	. 2 ⊢ (ℤRHom‘𝐿) = ∪ (ℤring RingHom 𝐿)
14	9, 11, 13	3eqtr4g 2824	1 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  +_gcplusg 17288  ._rcmulr 17289   RingHom crh 20520  ℤ_ringczring 21500  ℤRHomczrh 21553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-0g 17472  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-grp 18980  df-ghm 19256  df-mgp 20189  df-ur 20234  df-ring 20287  df-rhm 20523  df-zrh 21557

This theorem is referenced by:  znzrh  21596