Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zrhpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhpropd 20354
 Description: The ℤ ring homomorphism depends only on the ring attributes of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
zrhpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
zrhpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
zrhpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
zrhpropd (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem zrhpropd
StepHypRef Expression
1 eqidd 2773 . . . 4 (𝜑 → (Base‘ℤring) = (Base‘ℤring))
2 zrhpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
3 zrhpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
4 eqidd 2773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(+g‘ℤring)𝑦) = (𝑥(+g‘ℤring)𝑦))
5 zrhpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
6 eqidd 2773 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘ℤring) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘ℤring))) → (𝑥(.r‘ℤring)𝑦) = (𝑥(.r‘ℤring)𝑦))
7 zrhpropd.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
81, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7rhmpropd 19283 . . 3 (𝜑 → (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
98unieqd 4716 . 2 (𝜑 (ℤring RingHom 𝐾) = (ℤring RingHom 𝐿))
10 eqid 2772 . . 3 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
1110zrhval 20347 . 2 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤring RingHom 𝐾)
12 eqid 2772 . . 3 (ℤRHom‘𝐿) = (ℤRHom‘𝐿)
1312zrhval 20347 . 2 (ℤRHom‘𝐿) = (ℤring RingHom 𝐿)
149, 11, 133eqtr4g 2833 1 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ∪ cuni 4706  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  +gcplusg 16411  .rcmulr 16412   RingHom crh 19177  ℤringzring 20309  ℤRHomczrh 20339 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-grp 17884  df-ghm 18117  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-rnghom 19180  df-zrh 20343 This theorem is referenced by:  znzrh  20381
 Copyright terms: Public domain W3C validator