Theorem znzrh 21469

Description: The ℤ ring homomorphism of ℤ/nℤ is inherited from the quotient ring it is based on. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znval2.u	⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
znval2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
znzrh	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑌))

Proof of Theorem znzrh

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2728	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈))
2		znval2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
3		znval2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
4		znval2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5	2, 3, 4	znbas2 21463	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘𝑈) = (Base‘𝑌))
6	2, 3, 4	znadd 21465	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘𝑈) = (+g‘𝑌))
7	6	oveqdr 7442	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))) → (𝑥(+g‘𝑈)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
8	2, 3, 4	znmul 21467	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘𝑈) = (.r‘𝑌))
9	8	oveqdr 7442	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑈))) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
10	1, 5, 7, 9	zrhpropd 21433	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑈) = (ℤRHom‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℕ₀cn0 12496  Basecbs 17173  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227   /_s cqus 17480   ~_QG cqg 19070  RSpancrsp 21096  ℤ_ringczring 21365  ℤRHomczrh 21418  ℤ/nℤczn 21421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-cnfld 21273  df-zring 21366  df-zrh 21422  df-zn 21425

This theorem is referenced by:  znzrh2  21472  znle2  21480